1、专题二 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 1 集合与常用逻辑用语 真题热身 1(2011山东)设集合 Mx|x2x60，Nx|1x3，则 MN 等于()A1,2)B1,2C(2,3 D2,3A解析 x2x60，3x2，Mx|3x2又Nx|1x3，MNx|1xb 成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3A解析 要求 ab 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出 ab，而由 ab 推不出选项在选项 A 中，ab1能使 ab 成立，而 ab 时 ab1 不一定成立，故 A 正确；在选项 B 中，ab1 时 ab 不一定成立，故 B 错误；在选项 C 中，a2b2
2、 时 ab 也不一定成立，因为 a，b 不一定均为正值，故 C 错误；在选项 D 中，a3b3 是 ab 成立的充要条件，故 D 也错误4(2011安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2 整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”考点整合1集合(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两
3、集合是否相等的依据(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法要特别注意用描述法表示集合时先弄清楚集合的元素是什么，再进行集合间关系的判断及运算(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形(4)重要结论ABAAB；ABABA.2四种命题间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假3含有一个量词的否定(1)全称命题 p：xM，p(x)，它的否定：x0M，綈 p(x0)是特称命题(2)特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否定：xM，綈 p(x)是全称命题4充分、必要
4、条件设集合 Ax|x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，则有从逻辑观点看从集合观点看p 是 q 的充分不必要条件(pq，qp)ABp 是 q 的必要不充分条件(qp，pq)BAp 是 q 的充要条件(pq)ABp 是 q 的既不充分也不必要条件(pq，qp)A 与 B 互不包含分类突破一、集合间关系与运算例 1 若集合 Ay|yx3，1x1，Bx|y 1x，则 AB 等于()A(，1 B1,1CD1B解析 集合 A 表示的是函数的值域，yx3 在1,1上单调递增，所以 A1,1；集合 B 表示的是函数的定义域，所以 B(，1，因此 AB1,1归纳拓展 解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先
5、正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用 Venn 图求解变式训练 1(1)设集合 My|ym0，Ny|y2x1，xR，若 MN，则实数 m 的取值范围是_解析 My|ym，Ny|y1，结合数轴易知m1.(1,)(2)(2011北京)已知集合 Px|x21，Ma若 PMP，则 a 的取值范围是()A(，1 B1，)C1,1D(，11，)C解析 由 Px|x21得 Px|1x1由 PMP 得 MP.又 M
6、a，1a1.二、逻辑联结词、全(特)称命题例 2 已知命题 p：“x1,2，x2a0”，命题 q：“x0R，2ax02a0”，若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围归纳拓展 含有逻辑联结词的命题要首先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件解 由“p 且 q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题若 p 为真命题，即 x1,2时，ax2 恒成立，a1.若 q 为真命题，即 x22ax2a0 有实根，4a24(2a)0，即 a1 或 a2.综上，所求实数 a 的取值范围为 a2 或 a1.20 x变式训练 2 已知命题
7、p：xR，使 sin x 52；命题q：xR，都有 x2x10.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“綈 pq”是真命题；命题“綈 p綈 q”是假命题；命题“p綈 q”是假命题其中正确的是()ABCD解析 52 1，sin x 52 不成立，即命题 p 为假命题又x2x1(x12)2340 恒成立，即命题 q 为真命题，从而知“綈 pq”是真命题，“p綈 q”是假命题，故选 B.答案 B三、充分、必要条件例 3 已知 p：x28x200，q：x22x1m20(m0)，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解 由 x28x200，得2x10，由 x22x1m20(m0)
8、，得 1mx1m.綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，q 是 p 的必要不充分条件，即 p 是 q 的充分不必要条件即 pq 但 qp.x|2x10是x|1mx1m的真子集，1m2，1m10，解得 m9.实数 m 的取值范围为m|m9归纳拓展 一般地，在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件的问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑綈 p 与綈 q 是两个非空的数集，綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，即綈 q綈 p，深刻理解这一点，是解决本例的关键另外，一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，等价转化为 q 是 p 的必要不充分条件变式训练 3 命题甲
9、：x2 或 y3；命题乙：xy5，则()A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件B解析“甲乙”，即“x2 或 y3”“xy5”，其逆否命题为：“xy5”“x2 且 y3”显然不正确同理，可判断命题“乙甲”为真命题所以甲是乙的必要不充分条件规范演练 1(2011辽宁)已知命题 p：nN,2n1 000，则綈 p 为()AnN,2n1 000 BnN,2n1 000CnN,2n1 000 DnN,2n1 000A解析 由于特称命题的否定是全称命题，因而綈 p：nN,2n1 000.2(2010上海)“x2k4(kZ)”是“tan
10、x1”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析 tan 2k4 tan 41，反之 tan x1，则 xk4(kZ)，“x2k4(kZ)”是“tan x1”的充分不必要条件3给定下列四个命题：“x6”是“sin x12”的充分不必要条件；若“pq”为真，则“pq”为真；若 ab，则 am2bm2；若集合 ABA，则 AB.其中为真命题的是_(填上所有正确命题的序号)解析 中由 x6sin x12，但 sin x12x6，故为真命题中 pq 为真，但 p、q 不全为真命题，则推不出 pq 为真，故为假命题中当 m20 时不成立，故为假命题中 ABAAB，故
11、为真命题，故答案为.4(2011江苏)设集合 A(x，y)|m2(x2)2y2m2，x，yR，B(x，y)|2mxy2m1，x，yR若 AB，则实数 m 的取值范围是_解析 AB，A，m2m2，m12或 m0.显然 B.要使 AB，只需圆(x2)2y2m2(m0)与 xy2m或 xy2m1 有交点，即|22m|2|m|或|12m|2|m|，2 22m2 2.又m12或 m0，12m2 2.当 m0 时，(2,0)不在 0 xy1 内综上所述，满足条件的 m 的取值范围为12，2 2答案12，2 25已知命题 P：函数 f(x)log2m(x1)是增函数；命题Q：xR，x2mx10.(1)写出命
12、题 Q 的否定綈 Q；并求出实数 m 的取值范围，使得命题綈 Q 为真命题；(2)如果“PQ”为真命题，“PQ”为假命题，求实数m 的取值范围解(1)綈 Q：x0R，mx010，解得 m2.故所求实数 m 的取值范围为(，2)(2，)(2)若函数 f(x)log2m(x1)是增函数，则 2m1，Am|m1220 x又xR，x2mx10 为真命题时，由 m240，m 的取值范围为 Bm|2m2，由“PQ”为真命题，“PQ”为假命题故命题 P、Q 中有且仅有一个为真命题当 P 真 Q 假时，实数 m 的取值范围为A(RB)(2，)，当 P 假 Q 真时，实数 m 的取值范围为(RA)B2，12综上，所求实数 m 的取值范围为2，12(2，)6已知命题 p：2x29xa0，命题 q：x24x30，x26x80，且綈 p 是綈 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围解 解 q 得：2x3，綈 p 是綈 q 的充分条件，綈 p綈 q 即 qp.设函数 f(x)2x29xa，则命题 p 为“f(x)0”qp，利用数形结合，应有f(2)0，f(3)0，即22292a0，23293a0，解得a10，a9，a9.故实数 a 的取值范围是a|a9返回