1、 高 二 数 学（第28周）主讲教师：徐 瑢【教学内容】 1、基本原理； 2、排列、排列数公式。【教学目标】 使学生理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，并能正确地运用两个基本原理解题；使学生了解排列、排列数的概念，理解并掌握排列数公式，并能运用排列数公式解决无限制条件排列与有限制条件的排列问题。【知识讲解】 1、两个基本原理。 分类计数原理：做一件事，完成它共有n类不同的办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。分步计数原理：做一件事，完成它共分n个步骤，在第一步中有m1种不
2、同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，在第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。 2、分类计数原理和分步计数原理的区别。 区分分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的关键。分类计数原理是计算做一件事有多少种不同的一步到位的办法。也就是说，要完成一件事可以分成若干类办法，只要采用其中一类的某一种方法就能够将这件事情做完，这些完成的方法又是互相独立的，那么计算完成这件事共有多少种不同方法时就使用加法分类计数原理。分步计数原理是计算做一件事有多少种可以分步完成的不同方法。也就是说，要完成一件事可分为若干个互相有联系的步骤，所有这些步骤依次相继完成后这件事
3、才能完成，那么计算完成这件事共有多少种不同的方法时就使用分步计数原理。 3、分类计数原理中的分类很重要。分类时要注意：（1）分类计数原理是计算做一件事有多少种不同的方法，因此要求每一种方法都必须能单独完成这件事；（2）要有正确的分类标准，不可随意化分，使所分的类既不遗漏也不能重复。分步计数原理中的分步也很重要。分步时要注意：（1）分步计数原理要有正确设计分步的程序，使每一种方法都必须并且只需连续进行互相独立的几步后才能完成这件事；（2）关于每一个独立的步骤都有一种或几种相应的方法完成这一任务。4、排列的概念。从n个不同元素中每次任取m (mn)个元素，把它按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同
4、元素中任取m个元素的一个排列。5、排列数的概念从 n个不同元素中每次取出m (mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数记作A nm。A nm=n (n-1) (n-2)(n-m+1)=。,规定，要记住的运算结果；要灵活运用（n+1）!= (n+1)n！，n！=(n+1)！-nn！和一般来说，要计算具体的排列数的时候，常用前一个公式比较简单；要推导或证明等式的时候，常用后一个公式比较简捷。6、在排列的定义中要搞清楚如下几个内容：（1）从n个不同元素中取m个元素，所以m不能大于n，即mn，当m=n时，这个排列（也就是取出所有元素的排列）叫做全排列。（2）排列定义中所谓“
5、一定顺序”就是说与位置有关。至于何时有关，何时无关，要由具体的问题决定。（3）两个排列中只要有不同的元素，它们就是不同的排列；然而，即使它们的所有元素都相同（如两个全排列），只要顺序不同，它们也是不同的排列。因此，要使两个排列相同，一定要所有的元素相同，而且还要顺序相同。7、要分清元素与位置，要注意科学地分类与合理地分步，要用准两个原理在处理有特殊要求的元素或有特殊要求的位置的综合应用题时，选择好是用直接计算方法还是间接方法特别注意不要重复或遗漏，尤其是重复，尽量避免解较复杂的排列应用题时，一般先考虑某些限制条件。如对“人”或“位置”有限制条件，一般有三种方法来解决：一是先满足某些“人”的特殊
6、要求，称之为特殊元素法；二是先满足某些“位置”的特殊要求，称之为特殊位置法；三是把所有可能中除去不符合限制条件的情况，称之为去杂法。例1、一座山的南坡有山路三条，北坡有山路三条，均通往山顶，（1）从南坡上山，再由北坡下山；（2）下山时不走原来的上山的路；（3）任意选择上、下山的路线，向从上山到下山，各有几种不同的走法。解：（1）分步完成：第一步上山有3种走法。 第二步下山有3种走法。 由乘法原理知共有：33=9（种） （2）分步完成：第一步上山有6种走法。 第二步下山有5种走法。 由乘法原理知共有：65=30（种）。 （3）分步完成：第一步上山有6种走法。 第二步下山有6种走法。 由乘法原理知
7、共有：66=36（种）评注：在分析问题时，首先要弄清要完成的事是什么？然后要搞清是分类问题还是分步问题，从而正确运用两个基本原理例2、将3封不同的信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？4名学生报名参加数学、物理、化学三个课外兴趣小组，有多少种不同的报名方法？解：每一封信都有4种不同的投法，所以由乘法原理可知共有444=43种不同的投法。每名学生都可以报名参加数学、物理、化学三个兴趣小组中的任一个，所以由乘法原理可知共有：3333=34种不同的报名方法。例3、把七个不同颜色的球，（1）放入两个颜色不同的布袋中；（2）放入两个颜色相同的布袋中，各有多少种不同的放法？解：（1）由于两个布袋的颜色
8、不同，所以每一个小球都有两个不同的放法，所以由乘法原理可知共有27种不同的放法。（2）由于两个布袋相同，所以当第一个球放入时只有一种放法，但第二个球放入时，由于前面两个袋子中有一个已经放了球，所以此时两个袋子是不同的，因而每个球又有两种不同的放法，所以由乘法原理可知共有26种不同的方法。例4、用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？解 (1)分三步：(i)先选
9、百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法；(ii)十位数字有5种选法；(iii)个位数字有4种选法由乘法原理知所求不同三位数共有554=100个(2)分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法所求三位数共有566=180个(3)分三步：(i)先选个位数字，有3种选法；(ii)再选百位数字，有4种选法；(iii)选十位数字也是4种选法所求三位奇数共有344=48个(4)分三类：(i)一位数，共有5个；(ii)两位数，共有55=25个；(iii)三位数共有554=100个因此比1000小的自然数共有5+25+100=130个(5)分4类：(i)千位
10、数字为3，4之一时，共有2543=120个；(ii)千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有443=48个；(iii)千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有23=6个；(iv)还有5420也是满条件的1个故所求自然数共120+48+6+1=175个注 排数字问题是最常见的排列组合问题，要特别注意首位不能排0例5、(1)200的正因数共有_个；(2)个位数字是3，不超过200的自然数个数为_；(3)不超过200，个位数字不是3的自然数的个数是_解 (1)12 因为200=2352，因此200关于2的方幂为20，21，22，23共4种，200关于5的方幂共有50，51，
11、52三种由乘法原理共12种(2)20 分三类：第一类是一位数，只有1个，即3；第二类，二位自然数，个位数字必须是3，十位数字有9种选法；第三类是三位数，个位数字还是3，百位数字必须是1，十位数字共有10种选法故所求个数为1+9+10=20(3)180 因为不超过200的自然数共有200个，除上面(2)的20种外其余还有200-20=180个注 若自然数N=pnqmrk，其中p，q，r都是素数，且pqr，那么N的正因数共有(n+1)(m+1)(k+1)个请读者自己证明例6、计算：解法一：应用公式（1）解法一：应用公式（2）例7、(1)求证：(2)求证：+m+m (m-1)= (n, m N, n
12、m2)证明：（1）（2）左边=+m+m (m-1) = = = = =右边 等式成立。 例5、解方程或不等式：（1）3=2+6（2）6解：（1）3x (x-1) (x-2) = 2 (x+1)x+6x (x-1) 又 x3， 3 (x-1) (x-2)=2 (x+1)+6 (x-1) 即 3x2-17x+10=0 解之得：x=5 或 x= 而xz 故x=5 （2） 6 (10-x) (9-x) 6 即 x2-19x+840 7xm）用排列数表示是（ ） A、 B、 C、 D、 4、设x N且x55，则 (55-x) (56-x)(69-x)用排列数表示是（ ） A、 B、 C、 D、 5、用数
13、字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于5000的偶数共有（ ） A、60个 B、48个 C、36个 D、24个 6、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的四位数，则在这些四位数中，偶数的个数是（ ） A、36个 B、60个 C、96个 D、120个 7、五名男生和两名女生排成一排照相，若男生甲必须站在左端或右端，两名女生必须站在一起，那么可能的各种排法共有（ ） A、480种 B、360种 C、240种 D、120种二、填空题： 8、从a, b, c三个不同元素中，取出两个不同元素的排列有_。 9、用0，1，2，3这四个数字组成个位数字不为1的没有重复数字的四位数，共有
14、_个。 10、四人跑4100米接力，其中甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，共有_种不同的组队方法。 11、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的数共有_个。 12、由1，4，5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和288，则数x等于_。 三、解答题： 13、七位同学排队照相留念。 （1）若分成前后两排照相，前排3人，后排4人，有多少中不同的排法？ （2）在题（1）的情况下，甲必须站在前排，乙必须站在后排，又有多少种不同的排法？ 14、在3000到9000之间，（1）有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有重复数字的奇数？【一周一练答案】 一、选择题： 1、B 2、A 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 二、填空题： 8、ab, ac,bc, ba, cb, ca 9、14 10、14 11、300 12、2 三、解答题： 13、（1）=5040 （2）=1440 14、（1）=280 （2）1512
