1、河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期第三次月考试题（期末模拟）理一单选题（共60分）1.已知复数，则复数的模是（ ）A.2 B. C. D.32.已知函数满足，则的单调递减区间为（ ）A. B. C. D.3.已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则（ ）210A. B. C. D.4.5位大学生在若假期间主动参加三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（ ）A.30种 B.90种 C.120种 D.150种5.已知实数满足，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ）A.证明 B.证明中至少有一个不大于1C.证明 D.证明可能都是奇数6.某制衣品牌为使成
2、衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：）和臂展（单位：）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为，根据这10名志愿者的数据求得臂展关于身高的线性回归方程为，则下列结论不正确的是（ ）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2D.根据回归方程可估计身高为160的人的臂展为1587.下列有关线性回归分析的六个命题：在回归直线方程中，当解释变量增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线当相关性系数时，两个变量正
3、相关如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高甲乙两个模型的相关指数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好其中真命题的个数为（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线的一条切线在轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ）A. B.C. D.9.柯西分布（Cauchydistribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量服从柯西分布为，其中当时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为.已知，则（ ）A. B. C. D.10.已知实数，则的展开式中含的项的系数为（ ）A.130
4、B.110 C. D.11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）A. B. C. D.12.已知，且，则（ ）A. B.C. D.二填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说
5、过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆有性质：过圆上一点的圆的切线方程是.类比上述结论，过椭圆的点的切线方程为_.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种_.15.已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是_.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击
6、，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是_.三解答题（共70分）17.已知（其中为虚数单位）（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.18.给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数的和等于16；若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选
7、一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知，_.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数为常数.（1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.20.已知数列的前项和，且.（1）求；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：月份x售价y（元/只）11.222.83.4（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，
8、并求y关于x的线性回归方程；（2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红黄蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头剪刀布”视频比赛.客户和机器人每次同时随机独立地选择“石头剪刀布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优
9、惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：，其中，.参考数据：，.22.已知函数.（1）当时，求证：；（2）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.参考答案：1.B【解析】【分析】先求出，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可.【详解】由题可得，则，所以.故选：B.2.A【解析】【分析】对求导得到关于的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.【详解】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为（-，0）.故选：A3.C【解析】【分析
10、】根据分布列的性质求出，根据公式求出，再根据方差的性质可求出结果.【详解】根据分布列的性质得，得，所以，所以，所以.故选：C4.D【解析】【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.【详解】因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有（种）；若是1，1，3，则共有（种），所以共有（种）不同的方法.故选：D.5.B【解析】【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断.【详解】实数满足，观察
11、四个选项，更适合用反证法的是B，原因是：假设且，则，与已知矛盾，故原结论成立，其它选项均不适合.故选：B6.C【解析】【分析】利用平均值极差线性回归方程的特征进行逐项判断.【详解】解：对于选项A：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确.对于选项B：因为，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B正确.对于选项C：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm，所以这10名志愿者臂展的平均值为，故C错误.对于选项D：若一个人的身高为160cm，则由回归方程，可得这个人的臂展的估计值为158cm，故D正
12、确.故选：C7.B【解析】【分析】对于，根据回归直线方程的特点即可判断；对于，根据回归直线的几何意义即可判断；对于，根据相关指数大于，可得两变量正相关即可可判断；对于，根据相关系数与变量的相关性的关系即可可判断；对于，根据残差图的特点即可判断；对于，根据模型的与效果的关系即可判断.【详解】对于，根据回归系数的含义，可得回归直线方程中，当解释变量x增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故正确；对于，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故不正确；对于，当相关性系数时，两个变量正相关，故正确；对于，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数的绝
13、对值就越接近于；故不正确；对于，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故不正确；对于，甲乙两个模型的分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故不正确，则正确的个数为2.故选：B.8.D【解析】【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，将点代入求出的值，进而得切线方程.【详解】函数的定义域为，设切点坐标为，因为，则切线斜率为，所以切线方程为，将点代入切线方程并整理得，解得，或（舍去），所以这条切线的方程为，即.故选：D.9.C【解析】【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可.【详解】因为，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P（|X|）=，可
14、得，因为P（）=，所以，因此，所以，故选：C10.C【解析】【分析】由微积分基本定理求解，将看作5个因式相乘，要得到，分析每个因式所取项的情况.【详解】，则表示5个因式相乘，所以其展开式中含的项为1个因式中取，4个因式取，或者2个因式中取，2个因式取，1个因式取所得到的项，则的展开式中含的项的系数为.故选：C.11.C【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得.【详解】设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为，由余弦定理得，同理得，最小的正三角形的面积.故选：C.12.B【解析】【分析】根据题意，两边取对数整理得，进
15、而构造函数，利用单调性来比较自变量与的大小.【详解】解：因为，所以.设，则.设，则，所以在上单调递减.当时，所以，即，故在上单调递减.因为，所以.故选：B.13.【解析】【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆上一点的椭圆的切线方程为.所以，过椭圆上的点的切线方程为，即.将代入得：，解得所以直线和椭圆有唯一交点，即直线与椭圆相切.故答案为：14.420按照的顺序进行涂色，其中与的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有种.故答案为：15.【解析】【分析】将原问题转化为函数的图象与直线有4个交点，分和两类情况讨论，利用导
16、数判断函数的单调性求得最值，由此作出函数的图象，利用数形结合即可求出实数a的取值范围.【详解】方程有四个不等的实数根，等价于的图象与直线有4个交点.当时，则，令，可得，则函数在上单调递增，在上单调递减，故函数在上的最大值为.当时，则，令，可得，则函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上的最小值为.作出函数的图象，如图所示，要使函数图象与直线有4个交点，则，故实数a的取值范围是.故答案为：.16.【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件：“李好第一枪击中目标”，事件：“李好第二枪击中目标”，事件：“李好第三枪击中目标”，事件：“目标被击中”，则，.故答案为：17.（
17、1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得，即，求解不等式即可.（1）由，得，因为为纯虚数，所以，且，所以（2），因为，所以，即即，解得.18.（1）和（2），【解析】【分析】（1）无论选还是选，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：.若选，则由题得，即，解得或（舍去），.若选，则由题得，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：.当即时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为：，.19.（1），极小值点（2）【解
18、析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出，从而求出单调区间，判断出是的极小值点；（2）问题转化为，求出，从而求出实数a的取值范围.（1）定义域为，；若在处有极值，则，此时，.，当时，为减函数.当时，为增函数.是的极小值点.（2）由条件知在上恒成立，即，在上恒成立，只需，即，即a的取值范围为.20.（1），（2），证明过程见解析.【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想，用数学归纳法进行证明（1）令得：，因为，解得：，令得：，即解得：，令得：，即，解得：（2）猜想的通项公式为，证明如下：当时，成立，假设时，成立，则则当时，即，解得：，成立综上：对任意的都成立.21.
19、（1）相关系数；（2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为；方案二分布列见解析；期望为；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出的值，带入参考公式计算即可.（2）根据（1）中线性回归方程，求得X可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数，由于0.98接近1，说明y与x之间有较强的线性相关关系.，所以.（2）由（1）可知，当时，即6月预计售价为4元/只.X可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，；2.83.23.6此时.若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为，则不胜的概率为.；2.83.23.6此时.，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令，的定义域为，当时，恒成立，在上单调递减，当时，恒成立，故当时，；（2）设，的定义域为，设，的定义域为，当时，恒成立，在上单调递减，又，存在唯一的使据，当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减，在处取得极大值也是最大值，又，在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根.
