1、主题二情境创新之数学应用1.复兴号动车组列车复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文命名,由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日,CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350 km自动驾驶,不仅速度比普通列车快,而且车内噪声更小.我们用声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为:L=10lg(aI),已知I=1013 W/m2时,L=10 dB.若要将某列车的声强级降低30 dB,则该列车的声强应变为原声强的()A.10-5B.10-4C.10
2、-3D.10-22.2021南京学情调研5G5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济价值.如图2-1所示的统计图是某单位结合近几年的数据,对今后几年的5G直接经济产出做出的预测.则以下结论错误的是()A.运营商的5G直接经济产出逐年增加B.设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快,后期放缓C.设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势 3.第七次全国人口普查中国在20
3、20年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查,甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作,要求每个社区至少安排1名志愿者,1名志愿者只去一个社区,且甲、乙不在同一社区,则不同的安排方法共有()A.1 240种B.1 320种C.1 248种D.1 224种4.新型冠状病毒疫苗研发新冠肺炎疫情发生后,我国加紧研发新型冠状病毒疫苗,某医药研究所成立疫苗研发项目,组建甲、乙两个疫苗研发小组,且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为23,乙小组研发成功的概率为12.该研发项目的奖金为100万元,分配方案是:若只有某一小组研发成功,则该小组获得全部奖金;若两个小组都研发成功,则平分
4、全部奖金;若两个小组均未研发成功,则均不获得奖金.则以下说法错误的是()A.该研究所疫苗研发成功的概率为56B.乙小组获得全部奖金的概率为16C.在疫苗研发成功的情况下,是由甲小组研发成功的概率为45D.甲小组获得奖金的期望值为60万元5.2021长沙长郡中学模拟生态环保习近平总书记深刻指出,倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少,某化工企业探索改良工艺,已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为2 mg/cm3,首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为1.94 mg/cm3.设改良前所排放的废气中含有
5、的污染物量为r0(单位:mg/cm3),首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为r1(单位:mg/cm3),则第n次改良后所排放的废气中的污染物量rn(单位:mg/cm3)满足函数模型rn=r0-(r0-r1)50.5n+p(pR,nN*).(1)rn=.(2)依据当地环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过0.08 mg/cm3.则至少进行次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.(参考数据:lg 20.3)图2-26.2021河北六校第一次联考西气东输工程我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,工程建设也加快了西部及沿线地区的
6、经济发展.输气管道工程建设中,某段管道铺设要经过一处峡谷,峡谷内恰好有一处直角拐角,水平横向移动输气管经过此拐角,从宽为27米峡谷拐入宽为8米的峡谷.如图2-2所示,位于峡谷悬崖壁上两点E,F的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E,O,F在同一水平面内),设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为,要使输气管顺利通过拐角,则其长度不能超过米.7.高斯算法德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+100的求和运算中体现了“倒序相加”的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f(x)=2x3m+6057(m0),则f(1)+f(2)+f(3)+f(m+2 018)
7、等于()A.m+20183B.2m+40363C.m+40366D.2m+40376图2-38.割圆术刘徽(约公元225年295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2-3为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sIn 2的近似值为()A.90B.180C.270 D.3609.2021济南名校联考鳖臑在九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面
8、体称为鳖臑,在鳖臑A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A.33B.23C.32D.22图2-410.2021江西红色七校第一次联考数学名著九章算术是我国古代著名的数学经典,书中对勾股定理的论述,比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该木材,锯口深1寸,锯道长1尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图2-4所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已
9、知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙内部分的体积为立方寸.(注:一丈=10尺=100寸,3.14,sIn 22.5513,答案四舍五入,只取整数)11.生活实践在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源,已知这个光源发出的光线(可视为圆锥)过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形,要使整个广场都照明,光源悬挂的高度至少为()A.30米B.20米C.15 2米D.15米12.食物链食物链亦称“营养链”,是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动,必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系.这种摄食关系,实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系,也即物质能量通过食物
10、链的方式流动和转换.如图2-5为某个生态环境中的食物链,若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为()图2-5A.13B.25C.35D.2313.2021湖南长郡中学期中数学建模苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线型,如图2-6(1),两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30 m,如图2-6(2),则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为()A.180 mB.200 mC.220 mD.240 m14.2021湖北
11、十一校联考解三角形模型为了增强数学的应用性,强化学生的理解,某学校开展了一次户外探究.当地有一座山,高度为OT,同学们先在地面选择一点A,在该点处测得这座山在西偏北21.7方向,且山顶T处的仰角为30;然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处,测得该山在西偏北81.7方向,山顶T处的仰角为60.同学们建立了如图2-7所示模型,则山高OT为()图2-7A.207米B.257米C.2021米D.2521米15.青花瓷青花瓷,中华陶瓷烧制工艺的珍品,是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷,其外形称为单叶双曲面,且它的外形上下对称,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的
12、最小直径为16 cm,瓶口直径为20 cm,瓶高20 cm,则该双曲线的离心率为.答 案主题二情境创新之数学应用1.C已知I=1013 W/m2时,L=10 dB,所以10=10lg(a1013),解得a=10-12.故L=10lg(10-12I)=10(-12+lg I),由已知,设该列车声强级降低前后的声强级分别为L1,L2,声强分别为I1,I2,则L2-L1=10(-12+lg I1)-10(-12+lg I2)=10(lgI1-lg I2)=10lgI1I2=30,所以lgI1I2=3,解得I2I1=10-3.故选C.2.C根据已知统计图,观察白色矩形,可得运营商的5G直接经济产出逐年
13、增加,A正确.观察黑色矩形和灰色矩形,可得设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快,后期放缓,到2029年被信息服务商超过,B正确,C错误.观察灰色矩形和白色矩形,可得信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势,D正确.故选C.3.B解法一先安排除甲、乙以外的4名志愿者,再安排甲、乙2人,共有四种情况:除甲、乙以外的4名志愿者去不同的社区,有A44A42=288种安排方法;除甲、乙以外的4名志愿者中2人去同一个社区,剩余2人去不同的社区,甲、乙2人中1人去剩下的1个社区,1人去其余志愿者所去的3个社区中的一个,有C42C21C31A44=864种安排方法;除甲、乙以外的4名志愿
14、者中2人去同一个社区,剩余2人也去同一个社区,甲、乙2人去剩下的2个社区,有C42A22A44=72种安排方法;除甲、乙以外的4名志愿者中3人去同一个社区,另外1人和甲、乙去剩下的3个社区,有C43A44=96种安排方法.故不同的安排方法共有288+864+72+96=1 320(种).解法二先把6名志愿者分成4组,有C63+C62C42A22=65种方法,再将4组志愿者分到4个社区,有A44=24种方法,所以共有6524=1 560种安排方法.若甲、乙去同一个社区,有(C41+C42)A44=240种安排方法,因此满足题意的不同安排方法共有1 560-240=1 320(种).故选B.4.D
15、由题,当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时,该研究所疫苗研发成功,其概率为1-(1-23)(1-12)=56,故A选项正确;乙小组获得全部奖金,即甲小组没有研发成功,而乙小组研发成功,概率为(1-23)12=16,故B选项正确;设事件A为“疫苗研发成功”,事件B为“甲小组研发成功”,则P(B|A)=P(AB)P(A)=2356=45,故C选项正确;设甲小组获得的奖金数为(单位:万元),则的可能取值为0,50,100,且P(=100)=23(1-12)=13,P(=50)=2312=13,P(=0)=13,所以E()=10013+5013+013=50,故D选项错误.故选D.5.(1)2-0
16、.0650.5n-0.5(nN*)由题意得r0=2,r1=1.94,所以当n=1时,r1=r0-(r0-r1)50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)50.5+p,解得p=-0.5.所以rn=2-0.0650.5n-0.5(nN*).(2)6由题意可得rn=2-0.0650.5n-0.50.08,整理得50.5n-0.51.920.06,即50.5n-0.532,可得n10lg21-lg2+1,由lg 20.3,得n307+15.3,又nN*,所以n6.故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.6.1313如图D 2-1所示,过点O分别作OAAE于A,OBBF于B,
17、则OEA=BOF=,在RtOAE中,OA=27,则OE=OAsin=27sin,同理可得OF=8cos,所以EF=OE+OF=27sin+8cos.图D 2-1令f()=27sin+8cos(02),则f()=-27cossin2+8sincos2=8sin3-27cos3sin2cos2=8cos3(tan3-278)sin2cos2,令f(0)=0,得tan30=278,得tan 0=32,由tan0=32,sin20+cos20=1,002,解得sin0=31313,cos0=21313,当00时,f()0;当00.则f()min=f(0)=2731313+821313=1313,故输气
18、管的长度不能超过1313米.7.A设x+y=m+2 019,则f(x)+f(y)=2x3m+6057+2y3m+6057=2(x+y)3m+6057=2(m+2019)3(m+2019)=23.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(m+2 018)=12f(1)+f(m+2 018)+f(2)+f(m+2 017)+f(m+2 018)+f(1)=1223(m+2 018)=m+20183.故选A.8.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以1801212sin 2=90sin 2,所以sin 290
19、,所以选A.9.A如图D 2-2,取AC的中点为N,连接MN,BN,则MNCD且MN=12CD,所以BMN即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD,又 BCCD,ABBC=B,所以CD平面ABC,所以MN平面ABC,所以MNBN.设AB=BC=CD=2,则MN=1,BN=2,BM=3,在RtBMN中,cosBMN=MNBM=33,所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为33.图D 2-210.317如图D 2-3,连接OA,OB,由题意可知,AB=10寸,OA=OC,D为弦AB的中点,所以在RtAOD中,OA2=OD2+AD2=(OC-1)2+(AB2)
20、2,解得OA=13寸,则sinDOA=ADOA=513,所以DOA22.5,所以BOA45,又S扇形AOB4536013266.33(平方寸),SAOB=1210(13-1)=60(平方寸),所以弓形面积S=S扇形AOB-SAOB66.33-60=6.33(平方寸),所以该木材镶嵌在墙内部分的体积为6.3350=316.5317(立方寸).图D 2-311.A设正六边形广场为ABCDEF,光源悬挂的最低点为P,则正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为30米,高即所求,由题意可知APD为等腰直角三角形,APD=90,AD=60米,所以正六棱锥的高为AD的一半,即30米,故选A.12.B由题,从鹰、
21、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任选两种生物,不同的选法为C52=10(种),其中恰好构成摄食关系的有鹰与田鼠、鹰与兔、鹰与麻雀、麻雀与蝗虫,共4种.所以所求事件的概率P=410=25.13.B建系如图D 2-4,设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意设D(15,h),B(30,h-150),则152=-2ph,302=-2p(h-150),解得h=-50,p=2.25.所以此抛物线顶端O到连桥AB的距离为50+150=200(m).故选B.图D 2-414.C设山高OT为h米,在RtAOT中,TAO=30,AO=htan30=3h(米),在RtBOT中,TBO=60,BO=hsin60=33h(米),在AOB中,AOB=81.7-21.7=60,由余弦定理得,AB2=AO2+BO2-2AOBOcos 60,即1402=3h2+13h2-23h33h12,化简得h2=371402,又h0,所以解得h=14037=2021,即山高OT为2021米.15.343以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图D 2-5所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).由题意可知a=8,图中的A点坐标为(10,10).将a=8,(10,10)代入双曲线方程,可得b=403,所以ba=53,所以e=1+(ba)2=343,故离心率为343.图D 2-5
