1、第二节 运用数形结合思想解题的策略数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形
2、结合思想的考查以由形到数的转化为主.”考试要求 展望2011年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 题型一 数形结合在函数与方程中的应用 例1.已知且,试求使方程有解的实数的取值范围.点拨:利用对数相等的意义,同时构造两个函数,通过函数的图象有没有交点进而得出方程有没有解,从而确定出的取值范围. 解：原方程等价于xyol3l2l1图8-2构造曲线,直线从而使问题转化为直线和双曲线() 在轴上半部分有交点，求实数的取值范围,如图8-2所示
3、：有三条临界直线、当在和之间时，直线在轴上的截距满足时，与有一个交点，解之可得当在上方时，直线在轴上的截距满足时, 与有一个交点，解之可得综合可得，所求的取值范围是 易错点: 解方程时很可能扩大的取值范围,另外数形结合不会利用双曲线渐近线. 变式与引申1:求函数的值域. 题型二 数形结合在不等式中的应用 例2.若不等式的解集为区间,且,则 . 点拨：通过数形结合的思想把一个解不等式的问题转化为求一条直线与半圆何时有交点. 解：令, .其示意图如图8-3:若,要满足,则,此时.从而.若,要满足,则.则,从而不存在. 易错点：如不能联想到直线与圆的图象,则思维很容易受阻.变式与引申2：已知函数有两
4、个零点，则有（ ）A. B. C. D. 题型三 数形结合在平面向量中的应用 例3.在中，G为外心，求的值.点拨:结合图形，利用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则解题. 解：如图8-4所示，设的中点为，则，且 . 易错点：不能将表示成，不能发现与的垂直关系. 变式与引申3：（1）如图8-5，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ；当时,的取值范围是 .CAOMBND图8-6（2）如图8-6，是半圆的直径，是三等分点，是线段的三等分点.若,则的值是（ ） A.34 B.26 C.10 D.2 题型四 数形结合在解析几何中的应用例4.求函数最小值. 点
5、拨：由题意可知，函数的定义域为，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决xyA(0,1)B(2,2)图8-7 解：令, 则问题化为:在轴求一点,使得取最小值关于轴的对称点为 易错点：如果用代数方法（如两边平方等）去求解问题，往往会陷入其中，不得其解.而将代数问题几何化则使问题变得容易解决.变式与引申4： 已知，则的大小关系是（ ）.A. B. C. D. 本节主要考查：数形结合思想一方面考查学生对数学的符号语言、图形语言的理解能力，另一方面考查学生的构图能力以及对图形的想象能力、综合应用知识等能力.点 评:（1）数形结合是把数或数量关系与图形对应起
6、来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法,它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化,“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.（2）函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.（3）在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题.用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数
7、形结合千般好，数形分离万事休”.（4）是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的.习题8-21.若对一切恒成立，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，不等式组,（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为 .3.函数在区间0,1上的图像如图所示，则n可能是（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 44.已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点,为椭圆上一动点，求的最大值和最小值.5. 已知不等式组所表示的平面区域为D,记D内的整点个数为（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）.（1）数列的通项公式；（2）若，记，求证：.【答案】变式
8、与引申1:解：（1）当时，如图1知（2）当时，如图2知（3）当时，如图3知，综上所述：当时，值域为当时，值域为当时，值域为变式与引申2： 解：函数的两个零点，即方程的两根，也就是函数与的图象交点的横坐标，如图易得交点的横坐标分别为 显然，则 ，故选D.变式与引申3：（1）提示：由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边,的取值范围是.当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，的取值范围是.点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题.（2）B 提示：,，故选B变式与引申4： xyO-11
9、x3x2x1C 提示：画出函数的图像，分别表示图像上的三点与原点连线的斜率，有图像可知，故选C习题8-21.A 提示：设函数，作出两个函数在上的图像易知的取值范围是xyx-y=0x+y=0x=aO2. 提示：易知，如图所示，画出不等式组表示的平面区域，得，令，即当抛物线与直线相切时，最小联立，得，此时 3. 答案:A【解析】代入验证，当时，则，由可知，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.4.提示：由可知, ,，左焦点,右焦点，由椭圆定义，,如图,由知当在延长线上的处时，取右“=”号；当在的反向延长线的处时，取左“=”号.即的最大、最小值分别为,于是的最大值是,最小值是.5.解：（1）当，2008时，分别有个整点,故（2）易得：
