1、第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算练好题考点自测1.下列说法正确的是()(1)f(x)与f(x0)(x0为常数)表示的意义相同.(2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同.(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(5)(sin 3)=cos 3.(6)(3x)=3xlog3e.(7)(log2x)=1xln2.A.(1)(2)(3)(5)(7)B.(4)(5)(7)C.(3)(7)D.(6)(7)2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t3-12gt2(g=10 m/s2),
2、则当t=2 s时,它的加速度是()A.14 m/s2B.4 m/s2C.10 m/s2D.-4 m/s23.设正弦函数y=sin x在x=0和x=2附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为()A.k1k2B.k10)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.拓展变式1.2021四省八校联考设函数f(x)=x+g(x)在R上可导,且在f(x)图象上的点(1,f(1)处的切线方程为y=-x+2,则g(1)+g(1)的值为 ()A.-2B.0 C.1D.22.(1)2021贵阳市摸底测试已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx在x=e处的切线平行,则实数k的值为.(2)2021安徽省四校联考
3、已知曲线y=xex在x=x1处的切线为l1,曲线y=ln x在x=x2处的切线为l2,且l1l2,则x2-x1的取值范围是.(3)2016全国卷,16,5分理若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则 b=.答 案第一讲导数的概念及运算1.C由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.2.A由质点在时刻t的速度v(t)=s(t)=6t2-gt,加速度a(t)=v(t)=12t-g,得当t=2 s时,a(2)=v(2)=122-10=14(m/s2).3.Ay=sin x,y=(sin x)=cos x.k1=cos 0=1,k2=cos2=0
4、,k1k2.4.Bf(x)=x4-2x3,f(x)=4x3-6x2,f(1)=-2,又f(1)=1-2=-1,所求的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.5.-3y=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y|x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a=-2,所以a=-3.6.e由题意得f(x)=exlnx+ex1x,则f(1)=e.7.(1,1)y=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=1x(x0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a
5、,b)(a,b0),则曲线y=1x(x0)上点P处的切线的斜率为yx=a=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=1x上,所以b=1,故P(1,1).1.A点(1,f(1)在切线y=-x+2上,f(1)=-1+2=1.又f(1)=-1,f(1)+f(1)=0.f(x)=x+g(x),f(x)=1+g(x),f(1)+f(1)=1+g(1)+1+g(1)=0,故g(1)+g(1)=-2.故选A.2.(1)2由y=xlnx,得y=ln x+1,所以当x=e时,y=ln e+1=2,所以曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为2.又该切线与直线y=kx-2平行,所以k=2.(2)(-,-
6、1)令f(x)=xex,g(x)=ln x,则切线l1的斜率k1=f(x1)=1-x1ex1,切线l2的斜率k2=g(x2)=1x2.l1l2,k1k2=1-x1ex11x2=-1,即x2=x1-1ex1,x20,x11,x2-x1=x1-1ex1-x1.令h(x)=x-1ex-x(x1),则h(x)=2-x-exex.当x1时,y=2-x-ex为减函数,故2-x-ex2-1-e10,h(x)0,h(x)在(1,+)上单调递减,h(x)h(1)=-1,x2-x1-1.(3)1-ln 2 设y=kx+b与f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1)分别相切于点(x1,y1),(x2,y2),则k=f(x1)=g(x2)=y1-y2x1-x2,即k=1x1=1x2+1=lnx1+2-ln(x2+1)x1-x2,解得x1=12,k=1x1=2,y1=ln 12+2,因为(12,ln 12+2)在y=kx+b上,所以ln 12+2=212+b,b=1-ln 2.