1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切第2课时 两角和与差的正切栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等(重点、难点)1.通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养2.借助两角和与差的正切的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.两角和的正切公式T：tan().2.两角差的正切公式T：tan().t
2、an tan 1tan tan tan tan 1tan tan 栏目导航栏目导航5 思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？提示(1)tan tan tan()(1tan tan)(2)1tan tan tan tan tan.(3)tan tan tan tan tan()tan()(4)tan tan 1tan tan tan.栏目导航栏目导航6 1.(2019全国卷)tan 255()A2 3B2 3 C2 3 D2 3D tan 255 tan(180 75)tan 75 tan(45 30)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.故选 D
3、栏目导航栏目导航7 2.若 cos 45，且 为第三象限角，则 tan4 的值等于()A17 B17 C7 D7D 若 cos 45，且 为第三象限角，则 sin 1cos235，tan sin cos 34，tan4 tan 11tan 7，故选 D栏目导航栏目导航8 3.设 tan 12，tan 13，且角，为锐角，则 的值是_栏目导航栏目导航9 4 tan 12，tan 13，tan()tan tan 1tan tan 1213112131，又，均为锐角，即，0，2，0，则 4.栏目导航栏目导航10 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航11 利用公式化简求值【例 1】求下列各式的
4、值：(1)tan 15；(2)1 3tan 753tan 75；(3)tan 23tan 37 3tan 23tan 37.思路探究 把非特殊角转化为特殊角(如(1)及公式的逆用(如(2)与活用(如(3)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的栏目导航栏目导航12 解(1)tan 15tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 333 33 32 3.栏目导航栏目导航13(2)1 3tan 753tan 75 33 tan 751 33 tan 75 tan 30tan 751tan 30tan 75tan(3075)tan(45)t
5、an 451.(3)tan(2337)tan 60 tan 23tan 371tan 23tan 37 3，tan 23tan 37 3(1tan 23tan 37)，原式 3(1tan 23tan 37)3tan 23tan 37 3.栏目导航栏目导航14 1.公式 T，T 是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan，tan tan(或 tan tan)，tan()(或 tan()三者知二可表示或求出第三个2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换栏目导航栏目导航15 1.求下列各式的值：(1)cos 75sin 75cos 75sin 75；(2)tan 36tan 84 3t
6、an 36tan 84.栏目导航栏目导航16 解(1)原式1tan 751tan 75 tan 45tan 751tan 45tan75 tan(4575)tan(30)tan 30 33.(2)原式tan 120(1tan 36tan 84)3tan 36tan 84 tan 120tan 120tan 36tan 84 3tan 36tan 84 tan 120 3.栏目导航栏目导航17 条件求值(角)问题【例 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 210，2 55.(1)求 tan(
7、)的值；(2)求 2 的值栏目导航栏目导航18 思路探究 先由任意角的三角函数定义求出 cos，cos，再求 sin，sin，从而求出 tan，tan，然后利用 T 求 tan()，最后利用 2()，求 tan(2)进而得到 2 的值栏目导航栏目导航19 解 由条件得 cos 210，cos 2 55，为锐角，sin 7 210，sin 55，tan 7，tan 12.栏目导航栏目导航20(1)tan()tan tan 1tan tan 71217123.(2)tan(2)tan()tantan 1tantan 31213121，为锐角，0232，234.栏目导航栏目导航21 1.通过先求角的
8、某个三角函数值来求角2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好栏目导航栏目导航22 3.给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角栏目导航栏目导航23 2.(1)已知 2，sin 35，求 tan4 的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算 的大小栏目导航栏目导航24 解(1)因为 sin 35，且 2，所以 cos 45，所以 tan sin cos 354534
9、，故 tan4 tan tan41tan tan4341134 117.栏目导航栏目导航25(2)由题图可知 tan 13，tan 12，且，均为锐角，所以 tan()tan tan 1tan tan 1312113121.因为(0，)，所以 4.栏目导航栏目导航26 公式的变形应用探究问题1.判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？提示 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等栏目导航栏目导航27 2.在ABC 中，tan(AB)与 tan C 有何关系？提示 根据三角形内角和定理可得 ABC，ABC，tan(AB)tan(C)ta
10、n C栏目导航栏目导航28【例 3】已知ABC 中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且3tan A 3tan B1tan Atan B，判断ABC 的形状思路探究 化简条件求出tan A，tan C 求出角A，C判断形状.栏目导航栏目导航29 解 由 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 3 3tan Btan Ctan Btan C1 3.而 0A180，A120.栏目导航栏目导航30 由 tan Ctan(AB)tan Atan Btan Atan B1 tan Atan B3tan A 3tan B 33，而 0C180，C3
11、0，B30.ABC 是顶角为 120的等腰三角形栏目导航栏目导航31(变条件)例题中把条件改为“tan Btan C 3tan Btan C3，且 33 tan A 33 tan B1tan Atan B”，结果如何？解 由 tan Atan(BC)tan(BC)tan Btan Ctan Btan C1 3tan Btan C 3tan Btan C1 3.栏目导航栏目导航32 又 0A180，所以 A60.由 tan Ctan(AB)tan Atan Btan Atan B1tan Atan B33 tan A 33 tan B 3.又 0C180，所以 C60，所以 B60.所以ABC
12、是等边三角形栏目导航栏目导航33 公式 T 的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在 T 中，如果分子中出现“1”常利用1tan 45来代换，以达到化简求值的目的，如1tan 1tan tan 4；3tan 31tan 3tan 4.栏目导航栏目导航34(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan”及“tan tan”两个整体，常考虑 tan()的变形公式栏目导航栏目导航35 1.公式 T()的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知、(或)的终边不能落在y 轴上，即不为 k2(kZ)(2)公式 T()的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1
13、与 tan tan 的差或和栏目导航栏目导航36 2.两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan tan tan()(1tan tan)；tan tan tan()(1tan tan)；tan tan 1tan tan tan 等.栏目导航栏目导航37 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航38 1.设角 的终边过点(2,3)，则 tan4()A15 B15 C5 D5A 由于角 的终边过点(2,3)，因此 tan 32，故 tan4 tan 11tan 32113215，选 A栏目导航栏目导航39 2.tan 10tan 20 3(tan 10tan 20)等于()A 33B1 C 3D 6B 原式tan 10tan 20 3tan 30(1tan 10tan 20)tan 10tan 201tan 10tan 201.栏目导航栏目导航40 3.计算3tan 151 3tan 15_.1 3tan 151 3tan 15 tan 60tan 151tan 60tan 15 tan 451.栏目导航栏目导航41 4已知 tan()25，tan5 14，求 tan5 的值解 5()5，tan5 tan5 tantan51tantan5251412514 322.栏目导航栏目导航42 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!
