1、95三角形的中位线考点、三角形的中位线定理1.三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2三角形中位线定理：文字语言：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半图形语言：数学语言：题型一：利用中位线解决线段长度问题1如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在外选一点C，连接，并分别取线段的中点E、F，测得，则的长为（）ABCD 第1题 第2题 第3题2如图，在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，E，F分别是RP，PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（）A线段EF的长逐渐增大B线段EF的长逐渐减小C线段EF
2、的长不变D线段EF的长先增大后减小3如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（）A4B8C16D204如图所示，已知ABC的周长为，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第个三角形的周长为（）ABCD第4题第5题5如图，在ABC 中，M、N分别是的中点，延长至点D，使连接若，则的长为（）A1B2C3D4题型二：利用中位线解决图形面积问题6如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AB、AD的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积为A24B20C5D48第6题第7题第8题7如图：ABC中，DE是ABC
3、的中位线，连接DC，BE相交于点F，若SDEF1，则SADE为（）A3B4C9D12题型三：利用中位线解决最值问题8如图，在中，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A2BC3D9如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接和，G，H分别为，的中点，连接，则的最小值为（）ABCD1 第9题第10题第11题10已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A5B5C5D不能确定11如图，ABCD的顶点A，D分别在直角的两边OM，ON上运动（不与点O重合），ABCD
4、的对角线AC，BD相交于点P，连接OP，若，则ABCD 的周长最小值是（）A20B25C10D15题型四：利用中位线解决图形折叠问题12如图1，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将ADE沿线段DE向下折叠，得到图2下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（）A点A落在BC边的中点BB+1+C=180CDBA是等腰三角形DDEBC13如图，菱形的对角线相交于点O，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（）ABCD第13题 第14题第15题14如图，矩形纸片，cm，cm，为边上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作于点为线段的中点，连接，则的长为
5、（）AcmBcm CcmDcm15将ABC 沿它的中位线折叠后，点落在点处，如下图所示若，则的大小为（）A80B90C100D120题型五：利用中位线解决图形证明问题16如图，在中，点，分别是边，的中点，连接交对角线于点求证：17如图，ABC 中，M为的中点，为的平分线，于D(1)求证：；(2)若，求的长18在中，点D、E分别是、的中点，点F在延长线上，连接，且(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等于面积的2倍的三角形19已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当与
6、满足条件 时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论20在ABC 中，点D和点E分别是上两点，连接点F、G、H分别是的中点，连接(1)猜想与的关系，并证明你的猜想(2)若，求的值21如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，点M、P、N分别为的中点(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明：把ADE 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把ADE 绕点A在平面内自由旋转，若，直接写出面积的最大值一、选择题1如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作
7、正方形，连接，M，N分别是的中点，连接MN若 ，则（）A25BC12D 第1题第2题第3题第4题2如图，点是内一点，是边的中点，延长线段交边于点，点是边的中点若，则线段的长为（）A7BC8D93如图，ABC中，C=90，BC=6，AC=8，点E是AB的中点，BD=2CD，则BDE的面积是 （）A4B6C8D124如图，ABC中，ABAC10，BC12，D是BC的中点，DEAB于点E，则DE的长为（）ABCD5如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AD、CD边的中点，连接EF，若，则菱形ABCD的面积是A24B20C12D6第5题第6题6如图：有一块三角形状的土地平均分给四户
8、人家，现有四种不同的分法，如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点，其中正确的分法有A1种B2种C3种D4种7如图，在中，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A2BC3D二、填空题8如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=4，AD=2，ADE为等边三角形，点F是直线ED上一点，连接OF，则线段OF的最小值为_第8题第9题第10题9如图，在矩形中，为上一点，连接，将沿折叠，点落在处，连接，若、分别为、的中点，则的最小值为_10如图，是ABC的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则DGF的
9、面积为_11如图，在ABC 中，分别是，四条边的中点，连接，若ABC 的面积为，则和的面积之和为_三、解答题12如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，求证：四边形是矩形13已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE并延长至F使得，连接FD，FC，FC交BD于点G求证：(1)；(2)连接AF，请判断四边形AODF的形状，并证明你的结论14点O为内一点，D、E、F、G分别为线段AB、AC、OC、OB的中点求证：(1)且DEBC；(2)四边形DEFG为平行四边形15求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半要求：根据给出的ABC及AB边上
10、的中点D，利用尺规作图作出AC边上的中点E；（不写作法，保留作图痕迹）连接DE，并写出已知、求证和证明过程16如图，ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想17如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：作点B关于直线l的对称点B；连接AB交直线l于点P，则点P即为所求
11、请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使PDE的周长最小(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求PDE周长的最小值18如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合；点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN(1)如图1，连接AE，请直接写出AE与AF有何数量关系，答：_(2)在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，并加以证明(3)如图2，将图1中的直角三角
12、板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，当，时，求MN的长19如图，点A、B、C是4 4网格上的格点，连接点A、B、C得ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图（1）在图1中，在AC上找一点M，使；（2）在图2中，在ABC 内部（不含边界）找一点N，使20操作探究：（1）实践：如图1， 中，为边上的中线，的面积记为，的面积记为则（2）探究：在图2中，、分别为四边形的边、的中点，四边形的面积记为，阴影部分面积记为，则和之间满足的关系式为_：（3）解决问题：在图3中，、分别为任意四边形的边、的中点，并且图中阴影部分的面积为平方厘米，求图中四个小三角形的面积和，并说明理由一、选择题1
13、如图，四边形中.为的平分线，E，F分别是的中点，则的长为（）A1B1.5C2D2.5 第1题第2题第3题2如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（）ABCD3如图，等边ABC边长为6，点是中线上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接当在点运动过程中，取得最小值时，CDF 的面积等于（）ABCD4如图，在中，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（）A3.6B4.8C5D6第4题第5题第6题5如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线相交于点O过点O作EFBC交AB于E交AC
14、于F过点O作ODAC于D下列五个结论：其中正确的有（）（1） EF=BE+CF； （2）BOC=90+A；（3）点O到ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m若AE十AF =n，则SAEF= mn；（5）SAEF=SFOCA2个B3个C4个D5个6如图：C，D是线段AB上两点，P是线段CD上的动点，分别以AP，BP为边在AB同侧作两个等边APE，BPF，M是EF的中点，已知AB20，ACBD2，当P从C运动到D时（无重复运动），M点的运动路径长为（）A8B9C10D117如图，ABC的面积为1第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1BAB，B1CBC，C1ACA，顺次连
15、接A1，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1A1B1，B2C1B1C1，C2A1C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过（）次操作A2B3C4D5第7题第8题8如图，在和中，点M、N、P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积最大时的值为（）ABCD16二、填空题9如图，在矩形中，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当CDF 为等腰三角形时，则的长是_第9题第10题 第11题10如图，在菱形中，分别为，的中点，分别为线段，的中点若线段的长为
16、8，则的长为_11在中，（1）如图，将线段绕点C顺时针旋转，所得到与交于点M，则的长=_；（2）如图，点D是边上一点D且，将线段绕点A旋转，得线段，点F始终为的中点，则将线段绕点A逆时针旋转_度时，线段的长最大，最大值为_12如图，在四边形中，点和点分别是和的中点，连接，若，则的面积是_三、解答题13【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容猜想如图23.4.2.在ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DEBC，且DE=1/2BC对此，我们可以用演译推理给出证明。【定理应用】(1)如图1，点D、E、F分别是三边中点，若的周长为10，则的周长是_；
17、(2)如图2，、是的中线，点M、N分别是和的中点，若，那么的长为_；(3)如图3，在矩形中，将线段绕点B旋转一定的角度，得到线段，连结，点H，G分别是和的中点，连结，已知，则的面积最大值为_14如图1，在中，点D，E分别在边，上，连接，点M，P，N分别为，的中点.(1)观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由.(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接， ，判断的形状，并说明理由.15探究：(1)【证法回顾】证明：三角形中位线定理已知：如图1，是的中位线求证：，证明：添加辅助线：如图1，在ABC中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接；请继续完成证明过程
18、；(2)【问题解决】如图2，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，求的长(3)【拓展研究】如图3，在四边形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，求的长题型探究详解1C【分析】先证明是的中位线，利用三角形中位线定理进行求解即可【详解】解：E、F是中点，是的中位线，故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键2C【分析】如图，连接CR， 先说明明CR的长度是定值，再证明EF=CR， 可得EF的长度是定值，从而可得答案.【详解】解：如图，连接CR， 在矩形ABCD中，R，P分别是AB，AD上的点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点R保持不动时，CR的长度
19、是定值， E，F分别是RP，PC的中点，EF=CR，EF的长度是定值.故选：C【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解本题的关键3B【分析】由三角形中位线定理可求BC2，由菱形的性质可求周长【详解】解：E，F分别是AB，AC的中点，EF1，BC2EF2，四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长428，故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的性质是本题的关键4D【分析】根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的规律【详解】解：的周长为，新的三角形的三条边为的三条中位线，根据中位线定理，三条中位线之和为三角
20、形三条边的，所以第个三角形周长为；第个三角形的周长为；以此类推，第个三角形的周长为；所以第个三角形的周长为故选：D【点睛】本题考查中位线定理，主要是找出每一个新的三角形周长是原三角形周长的的规律，解决问题5C【分析】根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，可得，根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可解答【详解】解：如图：连接M，N分别是的中点，是的中位线，四边形为平行四边形，M是的中点，故选：C【点睛】本题主要考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键6A【分析】根据EF是的中位线，根
21、据三角形中位线定理求的BD的长，然后根据菱形的面积公式求解【详解】解：、F分别是AB，AD边上的中点，即EF是的中位线，则故选A【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的BD的长是关键7A【分析】根据DE是ABC的中位线，可得点F是ABC的重心，进而求得FB2FE，即可求得SDEB3，根据ADDB，即可求得答案【详解】解：DE是ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，点F是ABC的重心，ADDB，FB2FE，SDBF2SDEF212，SDEBSDEF+SDBF1+23，ADDB，SADESDEB3故选：A【点睛】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角
22、形中位线的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键8B【分析】连接，利用三角形中位线的性质得到，根据垂线段最短知，当时，最小，即最小，利用勾股定理和等面积法求得即可【详解】解：连接，点D、E分别为CN，MN的中点，当时，最小，即最小，在中，的最小值为，的最小值为，故选：B【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键9B【分析】连接，得到是的中位线，当时，最小，得到最小值，则，证得是等腰直角三角形，求出即可【详解】连接，如图所示：四边形是菱形，G，H分别为，的中点，是的中位线，当时，最小，得到最小值，则，是等腰直角
23、三角形，即的最小值为故选：B【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键10A【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NPQNBC，即可得出答案【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBPMBP，AB=BC，即Q在AB上，M为BC中点，Q为AB中点，MQBD，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQC
24、N，四边形BQNC是平行四边形，而点Q是AB的中点，故PQ是ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，四边形ABCD是菱形，则BPC为直角三角形，CP AC3，BP BD4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC5，即NQ5，MP+NPQP+NPQN5，故选：A【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置11A【分析】由平行四边形的性质可得AP=PC，由三角形中位线定理和直角三角形的性质可得PH=，OH=AD，利用三角形三边关系得出AB
25、+AD2OP=10，即可求解【详解】解：如图，取AD的中点H，连接PH,OH,四边形ABCD是平行四边形，.AP=PC，点H是AD中点，AOD=90，.PH=，OH=AD，OH+PHOP，AB+AD2OP=10，平行四边形ABCD的周长最小值为2（AB+AD）=20，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键12A【分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得A=1，DE是ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确【详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DEBC；
26、B+1+C=180；BD=AD，DBA是等腰三角形故只有A错，BACA故选A【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和（2）三角形的内角和是180度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180这一隐含的条件通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力解答此类题最好动手操作13A【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得，即可得是等边三角形，根据等边三角形的性质和折叠的性质得和是等边三角形，即可得，根据，得是的中位线，可得，即可得【详解】解：四边形是菱形，是等边三角形，折叠，和是等边三角
27、形，是的中位线，五边形AEFCD的周长：，故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算14C【分析】连接，可得是的中位线，结合勾股定理即可求解【详解】解：连接，由折叠可知，是的中点，是的中点，是的中位线，在中，故选：C【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，中位线的性质，添加辅助线，掌握勾股定理和中位线的性质是关键15C【分析】根据折叠的性质可得,，根据中位线的性质可得，进而可得，根据平角的定义即可求得答案【详解】折叠,又，是的中位线故选C【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，平行线的性质，三角
28、形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键16见解析【分析】利用三角形中位线定理以及平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，据此即可得到【详解】证明：连接，交于点，连接，四边形是平行四边形，【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题17(1)证明见解析；(2)14【分析】（1）延长，交于点E，通过证明，得到，进而得到为的中位线，即可得证；（2）利用勾股定理得到线段的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段的长度【详解】（1）解：如图，延长，交于点E，平分，在与中，即点D为线段的中点，为的中位线，；（2）解：在中，【点睛】本题考查全等三角形的判
29、定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键18(1)见解析(2)图2中所有等于面积的2倍的三角形是，【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质求得，推出，证明，再由三角形中位线定理推出，即可证明四边形是平行四边形；【详解】（1）证明：，点D是中点，点D、E分别是的中点，是的中位线，四边形是平行四边形；（2）解：如图2，由（1）得，的面积都是面积的2倍【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键19(1)见解析(2)AB=CD；一组邻
30、边相等的平行四边形是菱形；ABCD，见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；根据矩形的判定定理解答【详解】（1）证明：E，G分别是的中点，是的中位线，同理，四边形是平行四边形；（2）解：F，G分别是的中点，是的中位线，当时，四边形是菱形；当与满足条件时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为：；一组邻边相等的平行四边形是菱形；，平行四边形是矩形【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的
31、判定，矩形和菱形的判定是解题的关键20(1)，理由见解析(2)【分析】（1）直接利用三角形的中位线定理得出，再借助三角形的外角的性质即可得出，即可得出结论；（2）利用三角形的中位线定理得出，由（1）的结论结合已知求得，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解【详解】（1）解：猜想，理由如下，点F是的中点，点H是的中点，点G是的中点，点H是的中点，；（2）解：点G是的中点，点H是的中点，即，【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，求得，是解第2小题的关键21(1)，(2)是等腰直角三角形，理由见解析(3)面积的最大值为【分析】（1）利用三角形的中位线得出，由，可
32、得出，再根据三角形的中位线知，得到，由，从而得出，即可得到结论（2）先判断出，得出，同（1）类似方法即可得出结论；（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论【详解】（1）解：，理由：点P，N是的中点，点P，M是的中点，即，故答案为：，；（2）解：是等腰直角三角形理由如下：由旋转知，利用三角形的中位线得，是等腰三角形，同（1）的方法得，同（1）的方法得，是等腰直角三角形；（3）解：把绕点A旋转到如图所示的位置时，由（2）知，是等腰直角三角形，最大时即最大时，面积最大，点D在的延长线上，的最大值【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和质
33、，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键1D【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长【详解】解：连接，如图所示，四边形是正方形，四边形是正方形，在中，M、N分别是的中点，是的中位线故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质与三角形中位线的定义及性质，正确添加辅助线是解答本题的关键2C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，由，得到，再根据三角形中位线定理即可求出线段的长【详解】解：，是边的中点，是边的中点，点是边的中点，是的中位线，故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长
34、是解题的关键3C【分析】过点E作交BC于根据三角形中位线定理得到EH，根据题意求出BD，根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点E作交BC于C=90，AC=8，点E是AB的中点， BC=6， BD=2CD， 则BDE的面积 故选C.【点睛】考查中位线定理以及三角形的面积公式，作出辅助线是解题的关键.4D【分析】连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出ADBC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接ADAB=AC，D为BC的中点，BC=12，ADBC，BD=DC=6，在RtADB中，由勾股定理得：AD=，SADB=ADBDABDE，DE=，故选D【点睛】本题考
35、查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键5A【分析】根据EF是的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解【详解】解：、F分别是AD，CD边上的中点，即EF是的中位线，则故选A【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键6D【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点，利用三角形中位线定理，求证ADF，BDE，DEF，EFC是同底同高，然后即可证明其面积相等，其他3种情况，同理可得【详解】D、E
36、、F分别是AB、BC、AC的中点，在图中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，ADF，BDE，DEF，EFC是同底同高，根据三角形面积公式可得ADF，BDE，DEF，EFC面积相等同理可得图，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点同理可得图，图中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确故选D【点睛】此题主要考查三角形中位线定理和三角形面积的计算7B【分析】连接，利用三角形中位线的性质得到，根据垂线段最短知，当时，最小，即最小，利用勾股定理和等面积法求得即可【详解】解：连接，点D、E分别为CN，MN的中点，当时，最小，即最小，在中，的最小值为，的最小值为，故选：B
37、【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握三角形的中位线性质，将求的最小值转化为求的最小值是解答的关键8【分析】连接OE，设OE与AD交于点G由垂线段最短可知，当时OF最小由矩形的性质可得出，即可判定OE是线段AD的垂直平分线再由等边三角形的性质可得出，由三角形中位线的性质可求出最后结合勾股定理和含30角的直角三角形的性质即得出答案【详解】如图，连接OE，设OE与AD交于点G由垂线段最短可知，当时OF最小矩形ABCD的对角线交于点O，OE是线段AD的垂直平分线ADE为等边三角形，点G为AD中点，故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线的性质
38、，勾股定理以及含30角的直角三角形的性质等正确的作出辅助线是解题关键91【分析】连接A1B，BD，根据三角形中位线定理可得，从而得到当A1B最小时，FG最小，在A1BD中，根据三角形的三边关系，可得，即可求解【详解】解：如图，连接A1B，BD，、分别为、的中点，当A1B最小时，FG最小，在矩形中，A=90，AD=CB=3，AB=CD=4，根据折叠得：A1D=AD=3，在A1BD中，即，即FG的最小值为1故答案为：1【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的FG转化为A1B104【分析】取的中点H，连接，根据三角形的中位线定理可得，再根据两直线平行，内错角相等可
39、得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的面积相等可得，再求出，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案；【详解】解：取的中点H，连接，点H是的中点，是的中位线，F是的中点，在和中，的面积为，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线，利用三角形的中位线进行解题是解题的关键116【分析】根据点是的中点，可得，再根据点是的中点，可得，然后根据点是的中点，可得，最后根据点是的中点，可得，进行计算即可解答【详解】解：点是的中点，的面积为，点是的中点，点是的中点，点是的中点，和的面积之和为，故答
40、案为：【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键12见解析【分析】先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等证明四边形是矩形【详解】解：点D、E分别是边的中点，绕点E旋转得，四边形是平行四边形，四边形是矩形【点睛】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键13(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由题意可知OEOF，再由三角形中位线定理得OECD，即可得到OFDC；（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OEEF，OEOF，E是AD中点，O是AC中点，
41、OE是ACD的中位线，OECD，OFDC；（2）四边形AODF是平行四边形，证明：连接AF，E是AD的中点，AEED，又OEEF，四边形AODF是平行四边形【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键14(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）证明DE是ABC的中位线，即可证得结论；（2）再证明GF是OBC的中位线，得出GFBC，GF=BC，即可得DEGF，DE=GF，进而可得出结论（1）D，E分别为AB，AC中点，DE是ABC的中位线，DEBC，DE=BC；（2）GF是OBC的中位线，GFBC，GF=BC，DEGF，DE=GF，
42、四边形DEFG为平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键15见解析；见解析【分析】作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E；根据命题写出已知和求证然后进行证明，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，证明AEDCEF，根据全等三角形的性质得到AD=CF，A=ACF，得到四边形BCFD为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可【详解】AC边的中点E如图所示；已知：在ABC中，点D，E分别是AB，AC中点，连接DE求证：DEBC，DE=BC证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，点D，E分别是AB，AC中点，A
43、D=DB，AE=EC，在AED和CEF中，AEDCEF（SAS），AD=CF，A=ACF，BD=CF，BDCF，四边形BCFD为平行四边形，DEBC，DE=DF=BC【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键16DFEG，DF=EG，证明见解析【分析】连接AO，由BE是AC的中线，得到E是AC的中点，再由G是OC的中点，即可推出GE是ACO的中位线，则，GEAO，同理可证，DFAO，即可得到DFEG，DF=EG【详解】解：DFEG，DF=EG，证明如下：连接AO，BE是AC的中线，E是AC的中点，又G是OC的中点，GE是A
44、CO的中位线，GEAO，同理可证明DF是ABO的中位线，DFAO，DFEG，DF=EG【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定义，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理17(1)见解析；(2)8【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作（2）过点A作AHBC于H，连接DE，设DT交BC于F利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论（1）解：如图，点P即为所求（2）解：过点A作AHBC于H，连接DE，设DT交BC于FADDB，AEEC，DEBC3，DFBC，AHBC，DFAH，ADDB，BFFH，DFAH2，DT
45、BC，DEBC，DEDT，在RtDET中，DE3DT2DF4，ET 5，PE+PD+DEDE+PE+PTDE+ET3+58，DEP的周长的最小值为8【点睛】本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型18(1)；(2)，MNDM，证明见解析；(3)【分析】（1）借助ADF与ABE全等可得；（2）在RtANF和RtADF中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在AEF中利用三角形中位线定理得证（1）解：如图，四边形ABCD是正方形，ABADBCCD，ABCADC90，ECF是等腰直角三角形，CECF
46、，BCCECDCF，即BEDF，ABAD，ABCADC，ABEADF（SAS），AEAF，故答案为AEAF；（2）线段MD与MN的关系为：MDMN，MDMN证明：如图1，在RtADF中，M是AF的中点，DMAF，N是EF的中点，MNAE，AEAF，DMMN，由（1）得：ABEADF，BAEFAD，DMAFAM，FADADM，FMDFAD+ADM2FAD，MNAE，FMNEAF，BADEAF+BAE+FADEAF+2FAD90，DMNFMN+FMDEAF+2FAD90，DMMN；（3）连接AE，如图，四边形ABCD是正方形，ABBC6，ABC90，在RtABE中，AB6，BEBC+CE10，AE
47、2，在AFE中，M为AF中点，N为EF中点，MN【点睛】本题主要考查正方形的性质定理，并为下一步的三角形全等提供判定条件，同时考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理：平行且等于第三边的一半，第二问在证明过程中也可以使用三角形全等进行判定，第三问求线段的长借助勾股定理，在解此类题目时，关键是熟练掌握正方形的性质定理，并能灵活组合三角形知识点进行解题19（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据格线的特征找出AC的中点即可；（2）连接AB、AC的中点，则该线上的任一点都符合要求.【详解】（1）在图1中，点M即为所求； （2）在图2中，点N即为所求 【点睛】本题考查了三角形的
48、面积及三角形的中位线，当三角形的底相同时，三角形的面积与高成正比例关系，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.20（2）S阴S四边形ABCD；（3）20，证明见解析【分析】（2）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可（3）先设空白处面积分别为：x、y、m、n，由上得 S四边形BEDFS四边形ABCD，S四边形AHCGS四边形ABCD，可得（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴，然后S1+S2+S3+S4=S阴即可【详解】（2）由E、F分别为矩形ABCD的边
49、AD、BC的中点，得S阴=BFCD=BCCD，S四边形ABCD=BCCD，所以S阴S四边形ABCD；（3）设空白处面积分别为：x、y、m、n，由题意得 S四边形BEDFS四边形ABCD，S四边形AHCGS四边形ABCD，S1+x+S2+S3+y+S4=S四边形ABCD，S1+m+S4+S2+n+S3=S四边形ABCD，（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S四边形ABCD（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴，S1+S2+S3+S4=S阴=20平方厘米故四个小三角形的面积和为20平方
50、厘米【点睛】此题考查三角形面积，解题关键在于需要分别求得S1、S2、S3、S4然后S1+S2+S3+S4=S阴即可高分突破详解1A【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论【详解】解：，为的平分线，如图：连接并延长交于G，F是的中点，E是BD的中点，故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键2C【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解【详解】
51、解：如图：延长交于H，平分，在和中，而，正方形的边长为4，在中，在中，故选：C【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解3D【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示,为等边三角形，且直线为的对称轴，,，由旋转可知：，又，当时，最小，,，点为的中点，为的中位线，点为的中点，点为的中
52、点，故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质勾股定理，中位线的判定和性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出以及的最小值4D【分析】取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，再分类讨论可求得m和n的值，即得出答案【详解】解：由旋转的性质可得出如图，取的中点F，连接，是等边三角形E、F分别是的中点，如图，当在上方时，此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即；如图，当在下方时，此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即，故选D【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，分类讨论求得的最大值和最小值，即
53、得出m和n的值是解题的关键5B【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，则，故错误；、不可能是三角形的中点，则不能为中位线故正确【详解】解：在中，和的平分线相交于点，；故（2）正确；在中，和的平分线相交于点，故（1）正确；过点作于，作于，连接，在中，和的平分线相交于点，；故（3）正确，（4）错误；，不一定等于，不一定等于故（5）错误，综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），故选：【点睛】此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质
54、、等腰三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用6A【分析】延长AE、BF交于点G，连接GC、GD，PG，易证四边形PEGF为平行四边形，得出M为PG的中点，则M运动的轨迹为GCD的中位线，再求出CD的长，运用中位线的性质即可求出【详解】如图，延长AE、BF交于点G，连接GC、GD，PG，APE，BPF是等边三角形，AFPB60，AEFP，BEPA60，PEBG，四边形PEGF为平行四边形，GP与EF互相平分，M是EF的中点，M为PG的中点，即在P运动过程中，点M始终为GP的中点，M运动的轨迹为GCD的中位线CDABACBD202216，GCD的中位线为CD8M点的运动
55、路径长为8故选：A【点睛】本题主要考查了等边三角形及中位线的性质，平行四边形的性质与判定，以及动点问题，是中考热点，确定出点M运动的轨迹为GCD的中位线是解题的关键7C【分析】结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出，进而得到 ，再以此类推进行求解即可【详解】解：如图，连接A1C，ABA1B，SABC1，BCB1C，同理，同理可得，第二次操作后，第三次操作后的面积为749343，第四次操作后的面积为73432401，故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作故选：C【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面
56、积的关系，从而结合图形进行求解8C【分析】连接BE、CF，根据三角形中位线定理得出，继而推出，可证，可推出 为等腰直角三角形，所以，要使面积最大，即PN最大，即BE最大，即当点E在BA的延长线上时，满足条件，进而求解即可【详解】如图，连接BE、CF点M、N、P分别为的中点 即又， 为等腰直角三角形要使面积最大，即PN最大，即BE最大即当点E在BA的延长线上时，满足上述条件 故选：C【点睛】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键92或或【分析】判断是等腰三角形，要分类讨论，；，根据相似三角形的性质进行求解【详解】解：时，过点作
57、，垂足为点为的中点，则，取为的中点，为的中位线，即，、三点在一条线上，即，四边形是平行四边形，当时，是等腰三角形；时，则，则，当B时，是等腰三角形；时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、易知为矩形，、在同一直线上，为的中位线， ，即：，整理得：，即，解得：或（舍去）当时，CDF是等腰三角形综上，当、时，是等腰三角形故答案为：2或或【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型10【分析】连接并延长，交于点M，连接，根据菱形的性质证明，再根据三角形中位线定理可得，在中，根据等腰三角形的性质、30度角的直角
58、三角形性质以及勾股定理可求出的长度，即可求出的长度【详解】解 连接并延长，交于点M，连接，四边形为菱形，点G为的中点，点G为的中点，点M为的中点，F，G分别为和的中点，是的中位线，E，M分别为和的中点，过A作于点O，根据勾股定理，得，又，故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质11 6 150 【分析】（1）根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解；（2）取中点E连接，所以为中位线，求出，再利用求的最大值及此时的旋转角【详解】解：（1）如图1所示：在中，将线段绕点C顺时针旋转， 为等腰
59、三角形， 为等边三角形，故答案为：6；（2）在中，取中点E连接，如图2，为中位线，又，当共线时，最大，最大值=，此时，即当将线段绕点A逆时针旋转时，线段的长最大，最大值为；故答案为：150；【点睛】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质是解答此题的关键12【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：如图，过点作于，点和点分别是和的中点，故答案为：【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公
60、式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键13(1)5(2)(3)【分析】（1）利用三角形的中位线定理，进行求解即可；（2）取的中点，连接，利用三角形的中位线定理以及勾股定理，进行求解即可；（3）根据三角形的中位线定理，得到为定值，只要边上的高最大时，的面积最大，即为高时，面积最大，进行求解即可【详解】（1）解：点D、E、F分别是三边中点，的周长；故答案为：；（2）解：如图：取的中点，连接，点M、N分别是和的中点，、是的中线，；故答案为：；（3）解：点H，G分别是和的中点，的面积等于乘以上的高，当上的高最大时，的面积最大，上的高，当时，的面积最大，如图，当绕点旋转时，此时：，此时：，
61、的面积故答案为：【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键14(1)，理由见解析；(2)是等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）利用三角形的中位线得出，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论【详解】（1）解：，理由如下：点P，N是，的中点，点P，M是，的中点，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：由旋转知，在和中，利用三角形的中位线得，是等腰三角形，同（1）的方法得， ，同（1）的方法得，是等腰直角
62、三角形【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键15(1)见解析(2)5(3)【分析】（1）利用SAS证明FECDEA，证明四边形BDFC是平行四边形即可（2）取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA，二线交于点H，证明FEDHEA，得证AH=DF，EH=EF，得到EM是中位线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可（3）取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接 DM，证明AEGDEM，得证AG=DM，A=EDM=105过点M作MQDF，交FD的延长线于点Q，连接MF，
63、结合ADF=120，得到ADQ=60，QDM=45，可得QDM是等腰直角三角形，利用勾股定理得到QM=QD=3，QF=QD+DF=5，根据勾股定理，得MF=根据EN是三角形GMF的中位线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可（1）如图，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，因为AE=EC，AED=CEF，DE=EF，所以FECDEA，所以AD=CF，A=ACF，所以AD/CF，因为AD=BD，所以BD=CF，BD/CF，所以四边形BDFC是平行四边形，所以DE/BC，DF=2DE=BC，故，（2）如图，取GF的中点M，连接EM，延长FE、GA，二线交于点H，因为四边形ABCD是
64、正方形，所以HAE=FDE=90，因为AE=ED，AEH=DEF，所以FEDHEA，所以AH=DF，EH=EF，所以EM是FGH的中位线， 所以EM=，因为，GF=2EM=5（3）如图，取GF的中点N，连接EN，延长GE到点M，使得GE=EM，连接 DM，因为AE=ED，GAE=MDE，GE=ME，所以AEGDEM，所以AG=DM=，A=EDM=105过点M作MQDF，交FD的延长线于点Q，连接MF，因为ADF=120，所以ADQ=60，QDM=45，所以QDM是等腰直角三角形，QM2+QD2=DM2=18，所以QM=QD=3，QF=QD+DF=5，根据勾股定理，得MF=因为EN是GMF的中位线，所以EN=，因为，GF=2EN=【点睛】本题考查了三角形中位线定理的证明，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键
