1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.5.3平面与平面平行一、单选题1，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且满足m，则以下结论正确的是（）A若m，n，则mnB若m，则mC若m，m，则D若mn，n，则m2已知正方体的棱长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平面EFG，则的最小值为（）A2BCD3在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法不正确的是（）A点的轨迹是一条线段B与是异面直线C与不可能平行D三棱锥的体积为定值4已知棱长为的正四面体，分别是棱，的中点，则正四面体的
2、外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（）ABCD5已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（）A1B2CD6如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（）A始终有 /平面B不存在某个位置，使得平面C三棱锥体积的最大值是D一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为7如图在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一个动点，若平面，则面积最小值为 （）A BC D8已知长方体中，点在线段上，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（）ABCD二、
3、多选题9在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为一个阳马，其中平面，均为垂足，则（）A四棱锥的外接球直径为B三棱锥的外接球体积大于三棱锥的外接球体积C七点在同一个球面上D平面平面10如图，在正方体中，分别是，的中点，下列四个推断中正确的是（）A平面B平面C平面D平面平面11在长方体中，是线段上的一动点，则下列说法中正确的是（）A平面B与平面所成角的正切值的最大值是C的最小值为D以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是12已知正方体的棱长为2，点为的中点，若以为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点，则下列结论正确的是（）A平面平面B平面平面C四边形的面
4、积为D四棱锥的体积为三、填空题13已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为_.14已知正方体的体积为64，点分别是线段的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，线段的取值范围为_.15棱长为2的正方体中，E点是的中点，P点是正方体表面上一动点，若平面，则P点轨迹的长度等于_ .16如图所示四棱锥，底面为直角梯形，面，平面，则点轨迹长度为_四、解答题17在四棱锥中，底面是直角梯形，分别是棱，的中点(1)证明：平面；(2)若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积18如图，在圆柱中，分别是上、下
5、底面圆的直径，且，分别是圆柱轴截面上的母线.(1)若，圆柱的母线长等于底面圆的直径，求圆柱的表面积.(2)证明：平面平面.19如图所示，在四棱锥中，BC/平面PAD，E是PD的中点(1)求证：CE/平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN/平面PAB？说明理由20已知正方体中，分别为对角线上的点，且（1）求证：平面；（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明21如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、分别是棱、的中点，为线段上一点，.（1）若平面交平面于直线，求证：；（2）若直线平面，求三棱锥的表面积；试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤
6、，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.22如图，在斜三棱柱中，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.(1)求证：平面平面；(2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.参考答案：1B【解析】【分析】根据题意画出图形，进而结合点、线、面的位置关系，以及面面平行的性质定理和线面平行的性质定理、判定定理即可得到答案.【详解】图中几何体均为正方体，对A,如图，但，故错误；对B，如图，过m作平面与，分别交于a,b，因为，所以，又，所以，则，而，所以，故正确；对C，如图，而，故错误； 对D，如图，但，故错误.故选：B.2C【解析】【分析】如图，连接
7、，可得平面平面，从而可得点在，所以当时，取得最小值，进而可求得结果【详解】如图，连接，因为E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因为，所以平面平面，所以点在上移动时，平而EFG，所以当时，取得最小值，因为为等边三角形，所以当为的中点时，因为正方体的核长为2，所以，所以，所以的最小值为，故选：C3C【解析】【分析】对于设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，分别取，的中点，连接，可得平面，从而可判断；对于 假设直线共面,从而到处矛盾，可判断；对于，当点与点重合时可判断；对于,可证平面，则到平面的距离是定值
8、，从而可判断.【详解】对于设平面与直线交于点，连接、，则为的中点，分别取，的中点，连接，则易得，又平面，平面，平面同理可得平面，、是平面内的相交直线，平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上的动点A正确对于 假设直线共面, 由题意点在侧面上，且三点不共线.所以直线共面于侧面，则平面这就与在正方体中，平面相矛盾故假设不成立，即，与是异面直线，B正确对于，连接,由分别为的中点，则，又所以，且，所以四边形为平行四边形所以，故当点与点重合时，与平行，C错误对于，由选项A的过程可知,又,所以 又，分别为，的中点，所以,所以，则，平面，平面，所以平面，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所
9、以D正确；故选：4D【解析】【分析】根据题意，求得外接球球心位置、外接球半径、以及外接球球心到平面的距离，即可求得截面圆半径以及截面面积.【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则/，/，又，且面，面，故平面/平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故，则，；设该四面体的外接球半径为，即，则，在中，即，解得，故.即外接球球心到平面的距离为，又外接球半径为，设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D
10、.【点睛】本题考察几何体外接球半径的求解，处理本题的关键在于找到球心的外置，求得球半径以及球心到截面的距离，属综合中档题.5B【解析】【分析】通过构造面面平行，得到平面，再利用三角形相似，求得的长度.【详解】如图，取上一点，延长至点，使，连接，使，连接， ，四边形是平行四边形， 平面，平面，同理平面，且，平面平面，平面，平面， 又， 故选：B6D【解析】【分析】利用翻折前后的不变量、结合反证法，可证A，B，C正确，从而利用排除法得到正确选项。【详解】连结交于，取的中点，连结，。对A，易证，平面平面，平面，所以始终有/平面，故A正确；对B，因为，假设平面，则，则，因为，所以不成立，所以假设错误，
11、故不存在某个位置，使得平面，故B正确；对C，当平面平面时，三棱锥的体积最大，故C正确；故选：D【点睛】本题考查空间平面图形的翻折问题，考查线面、面面位置关系、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，属于较难问题。7A【解析】【分析】作出平面与长方体的截面，然后再找出过与平面平面平行的平面，即可找出在平面上的位置从而可得到答案.【详解】如图补全截面为截面，易知分别为对应边的中点.易知平面平面，直线平面， 则,当最小时，的面积最小作于点，且当与重合时，最短，此时的面积最小，由等面积法： 得 又平面，为直角三角形，故故选：A【点睛】本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用属于难题.8D
12、【解析】【分析】设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，由已知得四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，临界状态为点E为的中点，由此可得选项.【详解】解：设，则，设线段的中点为M，平面与交于点G，连接GE，若平面截长方体所得截面为平行四边形，即四边形是平行四边形，所以，随着点E从C向移动，则点G沿着向下运动，当点G仍在线段上时，面截长方体所得截面始终是平行四边形，则点G从的中点开始运动，此时点E与重合，直到点G运动到点D为止，此时点E为的中点，所以临界状态为点E为的中点，此时，所以，故选：D.【点睛】方法点睛
13、：对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的静是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.静只是动的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住静的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.9AC【解析】【分析】证明，判断A选项；根据三点在以为直径的球面上判断B选项；根据， ，得七点均在以为直径的球面上；计算与比值得与相交判断D选项.【详解】解：对于A选项，因为平面，所以，又因为底面为长方形，所以，由于，所以平面，平面，所以，所以A选项正确；对于B选项，因为，所以三点在以为直径的球面上，所以三棱锥的外接球的体积与三棱锥的外接球体积相等，故B选项错误；对于C选
14、项，由平面，所以，又因为，所以平面，所以，同理，又，故七点均在以为直径的球面上故C选项正确；对于D选项，由图得，同理，故，又，所以，所以与相交，故D选项错误故选：AC10AC【解析】【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断A；由，与平面相交可判断B；由，根据线面平行的判定定理可判断C，由与平面相交可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为在正方体中，分别是，的中点，所以，因为，所以，因为平面， 平面，所以平面，故选项A正确；对于B：因为，与平面相交，所以与平面相交，故选项B错误；对于C：因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故选项C正确；对于D：与平面相交，所以平面
15、与平面相交，故选项D错误.故选：AC11ABD【解析】【分析】证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项的正误；求出的最小值，利用线面角的定义可判断B选项的正误；将沿翻折与在同一平面，利用余弦定理可判断C选项的正误；设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，求出的长，判断出点的轨迹，可判断D选项的正误.【详解】对于A，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，同理可证平面，所以，平面平面，平面，所以，平面，A选项正确；对于B，平面，所以，与平面所成角为，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，的最大值为，B选项正确；
16、对于C，将沿翻折与在同一平面，如下图所示：在中，为直角，在中，由余弦定理可得，则为锐角，可得，由余弦定理可得，此时，因此，的最小值为，C选项错误；对于D，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，由于平面，平面，所以交线为以为圆心，为半径的四分之一圆周，所以交线长是，D选项正确.故选：ABD.12ACD【解析】【分析】如图，计算可得分别为所在棱的中点，利用空间中面面的位置关系的判断方法可判断A、B的正误；计算出四边形的面积可得C正误；计算四棱锥的体积，可判断D正误.【详解】 如图，连结，则，故棱与球面没有交点，同理，棱与球面没有交点，因为棱与棱之间的距离为，故棱与球面没有交点，因为正方体
17、的棱长为2，而，球面与正方体的棱有四个交点，所以棱，与球面各有一个交点，如图各记为，因为为直角三角形，故，故为棱的中点，同理分别为棱的中点，由正方形、为所在棱的中点，可得，同理，故，故共面，因为，平面，平面，所以平面，同理，平面，平面，所以平面平面，故A正确；若平面平面，则平面平面，而平面与平面显然不垂直，故B错误；在矩形中，所以四边形的面积为，故C正确；四棱锥的体积，故D正确.故选：ACD13【解析】【分析】取BC中点G，证明平面平面确定点P的轨迹，再计算作答.【详解】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，因，则，而，则有四边形为平行四边
18、形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，所以点P的轨迹长度为.故答案为：14【解析】【分析】分别取线段、的中点P、Q，连接、，证明平面平面，可得当G与P（或Q）重合时，CG取最大值，当G在PQ的中点R时，CG有最小值，利用勾股定理求得线段CG的取值范围【详解】分别取线段、的中点P、Q，连接、，连接EF，由三角形中位线定理可得，又平面，平面，平面，同理可证，平面，又，平面平面，故点G在线段PQ上运动（含端点位置）当G与P（或Q）重合时，；当G在PQ的中点R时，故答案为：.15【解析】【分析】分别为的中点，连接，证明平面平面，得到P点轨迹
19、为四边形，计算得到答案.【详解】如图所示：分别为的中点，连接 易知：且，故共面.，故平面平面所以P点轨迹为四边形，故轨迹长度为故答案为【点睛】本题考查了空间轨迹的长度问题，先找出轨迹为再证明是解题的关键.16【解析】【分析】本题可绘出如图所示的辅助线，然后通过平面平面得出点轨迹为线段，最后通过求出、的长度即可得出结果.【详解】如图，延长到点，使且，连接，取中点，作，交于点，交于点，连接，因为，所以，因为，是中点，所以，因为，所以平面平面，因为平面，面，所以点轨迹为线段，因为，所以，因为是中点，所以，因为底面为直角梯形，所以，故答案为：.17(1)证明见解析.(2)2.【解析】【分析】（1）取的
20、中点，连接，运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可求得答案.(1)证明：如图，取的中点，连接，因为，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为，且，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为平面，且，所以平面平面因为平面，所以平面(2)解：过点作，垂足为，连接，则四边形是正方形，从而因为，所以，则，从而直角梯形的面积设点到平面的距离为，则四棱锥的体积，解得因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积
21、相等，所以三棱锥的体积为218(1).(2)证明见详解.【解析】【分析】（1）借助圆柱的母线垂直于底面构造直角三角形计算可得半径，然后可得表面积；（2）构造平行四边形证明，结合已知可证.(1)连接CF、DF，因为CD为直径，记底面半径为R，EF=2R则又解得R=2圆柱的表面积.(2)连接、由圆柱性质知且且四边形为平行四边形又平面CDE，平面CDE平面CDE同理，平面CDE又，平面ABH，平面ABH平面平面.19(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论；（2）取中点N，连接，根据线
22、面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性(1)如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，又BC/平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，而面，面，则面.(2)取中点N，连接，E，N分别为，的中点，平面，平面，平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，平面平面，又M是上的动点，平面，平面PAB，线段存在点N，使得MN平面20（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析【解析】【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，又平面，平面，证明平面；（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面然后证明即可【详解】（1）连结并延
23、长与的延长线交于点，因为四边形为正方形，所以，故，所以，又因为，所以，所以又平面，平面，故平面（2）当的值为时，能使平面平面证明：因为，即有，故所以又平面，平面，所以平面，又，平面所以平面平面【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力21（1）答案见详解；（2）；作图步骤见解析，三棱锥 的体积为【解析】（1）根据面面平行的性质即可得到，再结合线线平行的传递性即可证明结论；（2）先根据直线平面得到，进而得到是的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥的表面积；根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作
24、出平面与正方体各个面的交线即可；根据四点共面，且三角形与三角形面积相等，那么三棱锥的体积等于三棱锥的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可【详解】（1）在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以，因为点、 分别是棱、 的中点，所以，所以（2）因为直线平面，平面，所以，又因为，所以，所以，因为，所以三棱锥的表面积为作图步骤如下：连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，则图中，即为平面与正方体各个面的交线设，由题知，所以，所以，解得，因为，所以，如上图，设为线段的中点，可证点在平面内，且三角形与三角
25、形面积相等，所以，三棱锥的体积三棱锥的体积三棱锥的体积，所以三棱锥 的体积为【点睛】本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题22(1)证明见解析(2)时，体积最大为36【解析】【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；（2）结合几何关系（线面垂直、相似三角形）设法先求出，再求出的体积，由体积对应关系推导出，利用函数思想通过二次函数求最值(1)证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，且为的中点，为的中点，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，连接，如图所示，且，则四边形为平行四边形，且平面，平面，平面，且，平面，平面平面；(2)，为的中点，平面平面，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，与平面的距离，平面，在中，则，平面，则平面，而平面，且，又，平面，平面，且平面，记交点为，则三角形为直角三角形，且，设，即，当时，即，三棱柱的体积最大，36.
