1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【知识导学】考点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl)考点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱Shr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥Shr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台(S)h(r2rrr2
2、)h圆台上底面圆的半径为r，面积为S，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S4R2(R为球的半径).2.球的体积公式VR3.【考题透析】透析题组一：圆柱的表面积和体积1（2021福建龙岩高一期末）已知圆柱的侧面积为，体积为则该圆柱的轴截面的面积为（）ABCD2（2021全国高一课时练习）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是（）ABCD3（2020广东揭阳高一期末）设甲乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为.若它们的侧面积相等，且，则的值是（）A2BCD透析题组二：圆锥的表面积和体积4（2021江苏徐州高一
3、期末）将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为，则该几何体的体积为（）ABCD5（2021河北廊坊高一期末）用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示.其中，则绕AC所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（）ABCD6（2021福建省漳州第一中学高一期末）已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（）ABCD透析题组三：圆台的表面积和体积7（2021河北邯郸高一期中）已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（）A2BC5D8（2021全国高一）圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积
4、是ABCD9（2021全国高一）已知圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180，则这个圆台的侧面积为（）A600B300C900D450透析题组四：球的表面积和体积10（2021全国高一课时练习）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.其意思是相当于给出了一个已知球的体积，求这个球的直径的近似公式，即.若取，利用我们已经学过的球的体积公式，试判断下列所算球的直径近似公式中，最精确的一个是（）ABCD11（2021广东广州高一期末）九章算术中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条
5、侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（）ABCD12（2021安徽滁州高一期中）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（）ABCD【考点同练】一、单选题13（2021全国高一课时练习）一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A2BC4D814（2021宁夏银川一中高一期中）半球内有一个内接正方体，则这个半球
6、的体积与正方体的体积之比为（）ABCD15（2022全国高一）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球已知该胶囊的表面积为，则它的体积为（）ABCD16（2021全国高一课时练习）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（）A16B8C32D2417（2021河北衡水市冀州区第一中学高一期中）紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（）ABCD18（2021山东济宁高一期中）已知
7、长方体的长、宽、高分别为、，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（）ABCD19（2021全国高一课时练习）一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（）ABCD20（2021贵州师大附中高一阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，沿对角线AC将向上折起，构成四面体ABCD，则该四面体ABCD外接球的表面积为（）ABCD21（2021浙江镇海中学高一期中）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为，若的面积为12，则该圆锥的侧面积为（）ABCD22（2021福建泉州五中高一期中）中，.以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为（）ABCD二、
8、多选题23（2021全国高一课时练习）我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（）A半径是3B体积为C表面积为D表面积为24（2021全国高一课时练习）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡
9、量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元B用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满C斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为D过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米25（2021河北邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则（）A该圆锥的母线长为5B该圆锥的体积为C该圆锥的表面积为D三棱锥体积的最大值为1226（2021福建福州高一期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球
10、与圆柱的组合体（如图2），当这种酒杯内壁的表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值可能为（）ABCD三、填空题27（2021全国高一课时练习）如图，四边形为梯形，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_28（2022全国高一）已知在四棱锥中，底面，且底面是等腰梯形，若，则四棱锥P外接球的体积为_29（2022全国高一）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为_.30（2021浙江诸暨中学高一期中）如图所示的圆台，在轴截面中，且，则该圆台的体积为_；侧面积为_四、解答题31（2022湖南高一课
11、时练习）如图，在正四面体中，若侧棱，求正四面体的外接球的表面积（取3.14）32（2021陕西西安高级中学高一阶段练习）如图所示，在平面四边形中，将四边形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.【答案精讲】1B【解析】【分析】根据圆柱侧面积与体积公式，解得底面半径及高，即可得到圆柱的轴截面面积【详解】设圆柱底面圆半径为，高为，则由题意得到，解得，所以圆柱轴截面为正方形，此圆柱的轴截面正方形的面积为故选：2C【解析】结合立体图，先由面积计算底面半径和侧棱，再利用侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形，面积为8，故边长，即底面半径，侧棱长为
12、.则圆柱的侧面积是.故选：C.3B【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为，和，然后根据圆柱的面积公式和体积公式列式计算求解即可【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为，和，由，得，则，由圆柱的侧面积相等，得，即，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查圆柱的表面积与体积公式，考查计算能力，属于常考题4C【解析】【分析】给定的几何体是以等腰直角三角形斜边上的高为底面圆半径，两条直角边分别为母线的两个共底面的圆锥组合而成，求出底面圆半径即可作答.【详解】依题意，这个几何体是以等腰直角三角形斜边上的高为底面圆半径，两条直角边分别为母线的两个共底面的圆锥组合而成，设其中的一个圆锥底面圆半径为r，则每个圆锥的
13、高为r，母线为，则该几何体的表面积为，解得，所以该几何体的体积为.故选：C5C【解析】【分析】由斜二测画法可知将绕所在直线旋转一周后所形成的几何体是底面半径为，母线长为2的圆锥，进而可得结果.【详解】由斜二测画法得是直角三角形，则.将绕所在直线旋转一周后所形成的几何体是底面半径为，母线长为2的圆锥.所以，几何体的表面积为.故选：C.6A【解析】【分析】直接利用扇形的弧长公式和面积公式计算即可.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则，底面圆周长为，又扇形的弧长为，所以，解得，得，所以底面圆的面积为，扇形面积为，所以圆锥的表面积为.故选：A7B【解析】【分析】设上底面的半径为，下
14、底面的半径为，利用圆台的侧面积公式：，求出即可求解.【详解】设上底面的半径为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，又母线长为4，圆台的侧面积为，所以，解得，所以，所以圆台的高为，故选：B8D【解析】首先求得圆台的底面半径和高，再由圆台的体积公式即可得解.【详解】由于圆台上、下底面面积分别是、，故圆台上下底面半径分别为,由圆台侧面积公式可得：，则圆台的母线，所以圆台的高，所以该圆台的体积.故选：D.【点睛】本题考查了圆台的结构特征及体积、侧面积公式，考查了运算求解能力，属于基础题.9A【解析】【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.【详解】圆台的
15、上底面圆半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解得，所以圆台的侧面积.故选：A10B【解析】【分析】利用球的体积公式可得，即有，结合各选项判断根号内的系数与2最接近的一个即可.【详解】设球的半径为，由球的体积公式，而，由，与最为接近，故选：B.11B【解析】【分析】设，由阳马的体积为8求得，把堑堵补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵的外接球的半径的最小值，代入球的表面积公式得答案【详解】解：根据题意，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线即为堑堵的外接球的直径，设，则阳马体积，把堑堵补形为长方体，则长方体的对角线长，当且仅当时上式取“”即堑堵的外接
16、球的半径的最小值为，堑堵的外接球的表面积的最小值为，故选：B12A【解析】【分析】由图形，分别求圆锥的底面半径和高，由圆锥和球的体积求出高脚杯内水的体积.【详解】作，垂足为，则球的半径，此时，水面半径，设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为.所以水的体积为.故选：A13C【解析】【分析】根据圆台的侧面积公式可得答案.【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得 故选：C14B【解析】【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为，正方体的棱长为，在直角中，由勾股定理，得，求得球的半径，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如
17、图所示，设球的半径为，正方体的棱长为，那么，在直角中，由勾股定理，得,即，解得，所以半球的体积为，正方体的体积为，所以半球与正方体的体积比为故选：B.15C【解析】【分析】根据圆柱的侧面积以及球的表面积计算公式，求得圆柱的高，再结合圆柱和球的体积公式求解即可.【详解】设圆柱的高为，；.故选：.16C【解析】【分析】由题意知该四棱锥是正四棱锥，如图四棱锥，设底面正方形的边长为，高为，由题意可知半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，利用等体积法求出与的关系，再将四棱锥的表面积表示成关于的函数，由基本不等式即可求解.【详解】因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，所以
18、该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥，当半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，设正方形的边长为，设，连接，则面，所以正四棱锥的高为，设，正四棱锥的表面积为，由，即为，整理可得：，所以，可得，所以正四棱锥体积为，则，设，可得，所以，当且仅当即，时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是，故选：C.17B【解析】【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下
19、底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，解得：，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积.故选：B.18A【解析】【分析】求出长方体的体对角线长，可得出其外接球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.【详解】长方体的体对角线的长是，长方体外接球的半径是，这个球的体积为故选：A19B【解析】【分析】作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果.【详解】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示，在中，球的半径，球的体积故选：B.20B【解析】【分析】直接确定球心的位置再求解
20、即可【详解】设正方形ABCD的对角线交于点，由正方形的性质可得，翻折后四面体满足，故为该四面体ABCD外接球的球心，故球的半径，故其表面积故选：B【点睛】本题主要考查了外接球的问题，重点是根据球心的性质确定球心的位置，再利用公式求解，属于基础题21B【解析】【分析】由，可得，再由的面积求出，由线面角可求出圆锥的底面半径，进而可求出侧面积【详解】由圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，即，可得.由的面积为，可得，即，解得，由与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为，所以该圆锥的侧面积，故选：B22C【解析】【分析】如图，以为旋转轴，边，旋转一周形成的图形为以AD为母线的圆锥，中间挖掉一个共底面以
21、BD为母线的圆锥，则以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积即为圆锥AD和圆锥BD的侧面积，分别求出两个圆锥的侧面积即可得解.【详解】解：如图，以为旋转轴，边，旋转一周形成的图形为以AD为母线的圆锥，中间挖掉一个共底面以BD为母线的圆锥，则以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积即为圆锥AD和圆锥BD的侧面积，中，则，又，所以，在中，则圆锥AD的侧面积为，圆锥BD的侧面积为，所以以为旋转轴，边，旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为.故选：C.23ABC【解析】【分析】作出正四棱锥的对角面，为半球的半个大圆的内接三角形，由图形可用球的半径表示出棱锥底面边长，高，由
22、棱锥体积求得半球半径然后计算半球体积，表面积，判断各选项【详解】如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为，是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为，棱锥体积为，半球体积为，表面积为，故选：ABC24ABC【解析】【分析】根据圆锥的母线长为20，底面半径为，分别求圆锥的侧面积，体积和轴截面判断.【详解】如图所示：由题意知：，A. 圆锥的侧面积为：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元，故正确；B. ，圆锥的体积为，所以用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；C. ，则，所以，所以斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，故正确；D.由C知斗笠轴截面（
23、过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米，故错误；故选：ABC25ABD【解析】【分析】利用圆锥的的几何特征和面积，体积公式求解.【详解】该圆锥的母线长为，A正确；该圆锥的体积为，B正确；该圆锥的表面积为，C错误；当时，的面积最大，此时，三棱锥体积的最大值为，D正确故选：ABD26AC【解析】【分析】根据题意,酒杯内壁表面积为柱与半球的表面积,列出S的表达式,再求出体积V,解不等式即可得到R的范围,判断选项即可【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为h,R,则则所以酒杯的容积.又h0,所以所以,解得.故选:AC27【解析】【分析】
24、由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，下底面面积，圆台的体积为，又半球的体积为，故旋转体的体积为故答案为：28【解析】【分析】根据题意，先在底面等腰梯形中，结合几何关系得底面的外接圆的半径为，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可.【详解】解：如图，设为底面的外接圆的圆心，过点作于点，过作，分别交于点，连接，则，因为，所以因为，即，所以，解得，所以，即底面的外接圆的半径为如图，过作底面，且，连接，则为四棱锥的外接球的球心，为四棱锥外接球的半径因为，所以四棱锥外接
25、球的体积为故答案为：29【解析】【分析】计算出球体的半径，利用球体的体积公式可求得结果.【详解】由题可知，球体的半径为，故该球体的体积为.故答案为：.30 【解析】【分析】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.，又为的边的中位线，得则，解得则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即 圆台的侧面积.故答案为：；.31【解析】【分析】过点作面，垂足为，则正四面体的外接球的球心必在线段上，设外接球半径为，求出，在，根据勾股定理，列方程求出，进而可得面积.【详解】过点作面，垂足为，点必为的中心，则正四面体的外接球的球心必在线段上，设图中点为正四面体的外接球的球心，外接球半径为，由已知得，解得则外接球表面积为.32表面积为，体积为【解析】【分析】由该几何体是一个圆锥和一个圆柱组成求解.【详解】如图所示：作，因为，所以，由题意得：该几何体是一个以EC为底面半径的圆锥和一个以AB为底面半径的圆柱组成，所以所形成的几何体的表面积为，所以所形成的几何体的体积为.
