1、【学生版】第 8 章平面向量【8.3.2 向量的正交分解与坐标表示】【附录】相关考点考点一分解正交分解把向量写成所在平面上两个不平行向量与的线性组合的过程称为关于与的分解；我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在的情况下进行向量的分解；这种分解称为向量的正交分解；考点二向量的坐标在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解；这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标代表一个向量；考点三位置向量必须注意，在向量的坐标表示
2、中，我们先要作出从坐标原点出发的向量，才能用点的坐标表示向量的坐标为此， 我们把向量称为的位置向量；位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标；理解：1、平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量与互相垂直2、向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关；3、当向量确定以后，即位置向量确定；向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；4、由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即且，其中，；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知，分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且4e13e2，则向量的坐标为()A(4，3)
3、 B(4，3) C(4，3) D(4，3)2、已知向量(1，0)，(0，1)，对平面内的任一向量，下列结论中正确的是()A存在唯一的一对实数x，y，使得(x，y)B若x1，x2，y1，y2R，(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2C若x，yR，(x，y)，且0，则的起点是原点OD若x，yR，且的终点坐标是(x，y)，则(x，y)二、填充题（每小题10分，共60分）3、如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30，且，以为原点，向量，为基底，则向量 4、设向量(1,1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是 ；A点坐标是 ；5、将向量(2，2)绕坐标原点逆时针旋转1
4、20得到向量，则的坐标为 .6、在平面直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且|2，|3，则的坐标为 ，的坐标为 7、已知，分别是方向与轴正方向轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限；8、已知，且，下列结论正确的序号是： ；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、在平面直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.10、如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，；四边形OABC为平行四边形.（1）求向量，的坐标；（2）求向量的坐标；（3）求点B的坐标；【教师版】第 8 章平面向量【8.3.2 向量的正交分解与坐标
5、表示】【附录】相关考点考点一分解正交分解把向量写成所在平面上两个不平行向量与的线性组合的过程称为关于与的分解；我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在的情况下进行向量的分解；这种分解称为向量的正交分解；考点二向量的坐标在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解；这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标代表一个向量；考点三位置向量必须注意，在向量的坐标表示中，我们先要作出从坐标原点出发的向量，才能用点的坐标表示向量的
6、坐标为此， 我们把向量称为的位置向量；位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标；理解：1、平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量与互相垂直2、向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关；3、当向量确定以后，即位置向量确定；向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；4、由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即且，其中，；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知，分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且4e13e2，则向量的坐标为()A(4，3) B(4，3) C(4，3) D(4，3)【提示】注意：理解向
7、量的坐标表示；【答案】D；【解析】由43，得(4，3)；【考点】本题考查了平面向量的坐标表示；2、已知向量(1，0)，(0，1)，对平面内的任一向量，下列结论中正确的是()A存在唯一的一对实数x，y，使得(x，y)B若x1，x2，y1，y2R，(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2C若x，yR，(x，y)，且0，则的起点是原点OD若x，yR，且的终点坐标是(x，y)，则(x，y)【提示】注意：理解向量的坐标表示与相关概念；【答案】A；【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确；(1，0)(1，3)，11，03，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以(x，y)与的起点是不是原点无
8、关，故C中结论错误；当的终点坐标是(x，y)时，(x，y)是以的起点是原点为前提的，故D中结论错误；【考点】本题综合考查了向量的坐标表示与相等向量间关系；二、填充题（每小题10分，共60分）3、如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30，且，以为原点，向量，为基底，则向量 【提示】注意：理解向量的坐标的定义；【答案】22【解析】由图；，由；【考点】本题考查了向量坐标的学习过程；4、设向量(1,1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是 ；A点坐标是 ；【提示】注意：“的坐标”、“A点坐标”；【答案】向量的坐标为(1,1)，A点坐标为A(1,1)；【考点】点的坐标与向量坐标的区
9、别和联系区别表示形式不同向量(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同注意：在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.5、将向量(2，2)绕坐标原点逆时针旋转120得到向量，则的坐标为 .【提示】注意：与三角的联系；【答案】(2，2)；【解析】易知与x
10、轴正半轴的夹角为150，逆时针旋转120得到向量在第四象限，与x轴正半轴夹角为30，所以，(2，2).6、在平面直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且|2，|3，则的坐标为 ，的坐标为 【提示】注意：与三角的联系；【答案】(，)；【解析】设点A(x，y)，B(x0，y0)，因为|2，且AOx45，所以x2cos 45，y2sin 45.；又|3，xOB9030120，所以x03cos 120，y03sin 120，故(，)，.7、已知，分别是方向与轴正方向轴正方向相同的单位向量，为坐标原点，设，则点位于第 象限；【提示】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限；【答案】
11、四；【解析】由题意得：，因为，；所以，位于第四象限；【说明】本题考查了向量的坐标表示与不等式的交汇；8、已知，且，下列结论正确的序号是： ；【提示】根据向量的坐标表示及运算进行判断；【答案】；【解析】因为向量，且，由向量，所以，所以正确；由向量，所以，所以正确；由向量，所以，所以正确；由知且，则，所以正确；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、在平面直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.【提示】注意：向量坐标的学习过程与三角的联系；【解析】设(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，则a1|cos 452，a2|sin 452，b1|cos 1203，b2|sin 1203，c1|cos(30)42，c2|sin(30)42.因此(，)，(2，2).【考点】本题考查了平面向量的坐标表示；10、如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，；四边形OABC为平行四边形.（1）求向量，的坐标；（2）求向量的坐标；（3）求点B的坐标；【解析】（1）作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542；所以，A(2，2)，故(2，2)；因为，AOC18010575，AOy45，所以，COy30.又因为，OCAB3，所以，C，所以，即.（2）.（3）(2，2).所以，点B的坐标为.
