1、2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z满足z+3i3=63i，则z=（）A9B36iC6iD96i2函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A3B2C1D03将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A50B60C120D904在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图
2、可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=3.2x+a，则a=（）A24B35.6C40.5D405下列说法错误的是（）A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6设（2x）6=a0+a1x+a2x+a6x6则|a1|+|a2|+|a6|的值是（）A665B729C728D637若x=2是函数f（x）=x（xm）2的极大值点，则m的值为（
3、）A3B6C2或6D28由曲线y2=2x和直线y=x4所围成的图形的面积（）A21B16C20D189对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）ABCD10对于R上的可导函数f（x），若ab1且有（x1）f（x）0，则必有（）Af（a）+f（b）2f（1）Bf（a）+f（b）2f（1）Cf（a）+f（b）2f（1）Df（a）+f（b）2f（1）11以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角性”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅
4、有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D20162201412定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若随机变量N（2，1），且P（3）=0.158 7，则P（1）=14已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是15把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种16观察下列等式：+=1+=
5、12+=39则当mn且m，nN时， =（最后结果用m，n表示）三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项18已知数列an满足Sn+an=2n+1（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论19某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客
6、抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望20已知函数f（x）=x3+（1a） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围21近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺
7、疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望以及方差下面的临界值表仅供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822已知f（x）=axlnx，x（0，e，g（x）=，其中e是自然常数，aR（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在
8、（1）的条件下，f（x）g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z满足z+3i3=63i，则z=（）A9B36iC6iD96i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接移向变形得答案【解答】解：由z+3i3=63i，得z=63i+33i=96i故选：D2函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A3B2C1D0【考点】变化的快慢与变化率【分析
9、】求出在区间（1，2）上的增量y=f（2）f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：y=f（2）f（1）=22+13=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：=2故选：B3将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A50B60C120D90【考点】计数原理的应用【分析】本题属于排列问题，全排即可【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，故选：C4在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价
10、格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=3.2x+a，则a=（）A24B35.6C40.5D40【考点】线性回归方程【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=ybx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果【解答】解： =10，=8，y=3.2x+a，a=3.2x+y=3.210+8=40故选D5下列说法错误的是（）A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C在残
11、差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，命题A正确；对于B，线性
12、回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确故选：B6设（2x）6=a0+a1x+a2x+a6x6则|a1|+|a2|+|a6|的值是（）A665B729C728D63【考点】二项式定理的应用【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得
13、|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6，把x=1，x=0代入已知式子计数可得结果【解答】解：（2x）6=a0+a1x+a2x+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=1可得：|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64|a1|+|a2|+|a6|=665故选：A7若x=2是函数f（x）=x（xm）2的极大值点，则m的值为（）A3B6C2或6D2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由题意可知：求导，f（2）=0，求得m的值，再分别利
14、用函数极值的判断，求得m的值【解答】解：f（x）=x（xm）2=x32mx2+m2x，则f（x）=3x24mx+m2，x=2是函数f（x）的极大值点，f（2）=0，128m+m2=0，解得m=2或6，当m=2时，f（x）=x（x2）2，f（x）=3x28x+4，f（x）0，解得：x2或x，f（x）0，解得：x2，f（x）的单调递增区间为：（，），（2，+），单调递减区间为：（，2），x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；当m=6时，f（x）=x（x6）2，f（x）=3x224x+36，f（x）0，解得：x6或x2，f（x）0，解得：2x6，f（x）的单调递增区间为：（，2），（6，
15、+），单调递减区间为：（2，6），x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；所以m=6，故答案选：B8由曲线y2=2x和直线y=x4所围成的图形的面积（）A21B16C20D18【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x4的交点坐标为：（2，2），（8，4）选择y为积分变量由曲线y2=2x 和直线y=x4所围成的图形的面积S=（y+4y2）=（y2+4yy3）|24=18，故选：D9对标有不同编号的6件正品和4件次品
16、的产品进行检测，不放回地依次摸出2件在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）=故选：D10对于R上的可导函数f（x），若ab1且有（x1）f（x）0，则必有（）Af（a）+f（b）2f（1）Bf（a）+f（b）2f（1）Cf（a）+f（b）2f（1）Df（a）+f（b）2f（1）【考点】利用导
17、数研究函数的单调性【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f（1）的大小关系【解答】解：由（x1）f（x）0可以得知，若（x1）f（x）0，则有以下两种情况：当x1时，有f（x）0；当x1时，有f（x）0，可以得知当x1时，f（x）单调递增，当x1时，f（x）单调递减，ab1，f（a）f（b）f（1）f（a）+f（b）2f（1），而当（x1）f（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），f（a）+f（b）=2f（1），综上，可得f（a）+f（b）2f（1），故选：C11以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉
18、三角性”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014【考点】归纳推理【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+
19、1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014故选：B12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+
20、f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13若随机变量N（2，1），且P（3）=0.158 7，则P（1）=0.8413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（1）=P（3），即可求概率【解答】解：随机变量N（2，1），正态曲线关于x=2对称，P（3）=0.1587，P（1）=P（3）=10.1587=0.8413故答案为：0.841314已知函数f（x）=+
21、x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（，1）（1，+）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f（x）=0有两个不相等的实数根，即有=4a240，解得，a1或a1故答案为：（，1）（1，+）15把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题【分析】分3步进行分析：用捆绑法分析A、B，计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即
22、将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有4812=36种故答案为：3616观察下列等式：+=1+=12+=39则当mn且m，nN时， =n2m2（最后结果用m，n表示）【考点】归纳推理【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1第二个式子为m=2，n=4第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个
23、式子+=1，此时1=120，当m=2，n=4时，为第二个式子+=12，此时12=4222当m=5，n=8时，为第三个式子+=39，此时39，=8252由归纳推理可知， =n2m2故答案为：n2m2三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项【考点】二项式定理的应用【分析】（1）由题意知=45，求得 n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果【解答】解：（1）由题意知=45，n=10，
24、Tk+1=，令=5，得k=2所以含x3的项为 T3=x3=45x3（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=25218已知数列an满足Sn+an=2n+1（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论【考点】数列递推式；数学归纳法【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测an的值（2）用数学归纳法进行证明，当n=1时，命题成立；假设n=k时，命题成立，即ak=2，当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2（k+1）+1，ak+1=2，当n=k+1时，命题成立故an=2都成立【解答】解：（1）当n
25、=1，时S1+a1=2a1=3a1= 当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5a2=，同样令n=3，则可求出a3=a1=，a2=，a3=猜测an=2（2）由（1）已得当n=1时，命题成立；假设n=k时，命题成立，即ak=2，当n=k+1时，a1+a2+ak+2ak+1=2（k+1）+1，且a1+a2+ak=2k+1ak2k+1ak+2ak+1=2（k+1）+1=2k+3，2ak+1=2+2，即ak+1=2，即当n=k+1时，命题成立根据得nN+，an=2都成立19某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中
26、，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件A2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，利用A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断XB求出概率
27、，得到X的分布列，然后求解期望【解答】解：（1）记事件A1=从甲箱中摸出一个球是红球，事件A2=从乙箱中摸出一个球是红球，事件B1=顾客抽奖1次获一等奖，事件B2=顾客抽奖1次获二等奖，事件C=顾客抽奖1次能获奖，由题意A1，A2相互独立，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=，P（B2）=P（）+P（）=+=，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为： 所以XB于是，P（X=0）=，P
28、（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=故X的分布列为： X 0 1 2 3 PE（X）=3=20已知函数f（x）=x3+（1a） x2a（a+2）x+b（a，bR）（）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；（）若函数f（x）在区间（1，1）上不单调，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义【分析】（）先求导数：f（x）=3x2+2（1a）xa（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于a，b等式解之，从而问题解决（）根据题中条件：“函数f（x）在区间（1，1）不单调，”等价于“导函数f（
29、x）在（1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（）由题意得f（x）=3x2+2（1a）xa（a+2）又，解得b=0，a=3或a=1（）函数f（x）在区间（1，1）不单调，等价于导函数f（x）是二次函数，在（1，1有实数根但无重根f（x）=3x2+2（1a）xa（a+2）=（xa）3x+（a+2），令f（x）=0得两根分别为x=a与x=若a=即a=时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a时有a（
30、1，1）或者（1，1）解得a（5，1）且a综上得参数a的取值范围是（5，）（，1）21近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，
31、记选出患胃病的女性人数为，求的分布列、数学期望以及方差下面的临界值表仅供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为，则服从超几何分布，即可得到的分布列、数学期望以及方差【解答】解：（1）根据在全部50人中随机
32、抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（2）因为 K2=，即K2=，所以 K28.333又 P（k27.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为，则=0，1，2，3故P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，则的分布列：0123P则E=1+2+3=0.9，D=（00.9）2+（10.9）2+（20.9）2+（30.9）2=0.492
33、2已知f（x）=axlnx，x（0，e，g（x）=，其中e是自然常数，aR（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a【解答】解：（1）因为，所以当0
34、x1时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减 当1xe时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增所以函数f（x）的极小值为f（1）=1（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e上的最小值为1又，所以当0xe时，g（x）0，此时g（x）单调递增所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）g（x）+（3）假设存在实数a，使f（x）=axlnx，x（0，e，有最小值3，则，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e上单调递减，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3当0时，f（x）在（0，上单调递减，f（x）在（，e上单调递增所以f，满足条件当时，f（x）在（0，e上单调递减，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是32016年8月2日
