1、第一课 导数及其应用 阶段复习课 返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建核心速填1导数的概念(1)定义：函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率_，称为函数 yf(x)在 xx0 处的导数(2)几何意义：函数 yf(x)在 xx0 处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线_斜率limx0fx0 xfx0 x返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建2几个常用函数的导数(1)若yf(x)c，则f(x)_.(2)若yf(x)x，则f(x)_.(3)若yf(x)x2，则f(x)_.(4)若yf(x)1x，则f(x)_.(5)若yf(x)x，则f(x)_.012x1x212 x返首页专题
2、强化训练题型探究核心速填体系构建3基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c(c为常数)，则f(x)_.(2)若f(x)x(Q*)，则f(x)_.(3)若f(x)sin x，则f(x)_.(4)若f(x)cos x，则f(x)_.(5)若f(x)ax，则f(x)_.(6)若f(x)ex，则f(x)_.(7)若f(x)logax，则f(x)_.(8)若f(x)ln x，则f(x)_.0 x1cos xsin xaxln aex1xln a1x返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建4导数的运算法则(1)f(x)g(x)_(2)f(x)g(x)_(3)fxgx _.5复合函数的求导法则(1)复合函
3、数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yx_.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxg2xyuux返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建6函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果_，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果_，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 xa 时，_，当xa 时，_，则点 a 叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当
4、xa 时，_，当xa 时，_，则点 a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建7求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的_(2)将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值8微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么abf(x)dx_极值端点处的函数值F(b)F(a)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建9定积分的性质abkf(x)dxkabf(x)dx
5、；abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx；abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中acb)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建体系构建返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建题型探究导数的几何意义 已知函数 f(x)x3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y14x3 垂直，求切点坐标与切线的方程.【导学号：31062107】返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构
6、建解(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线的方程为 y13(x2)(6)，即 y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201，直线 l 的方程为y(3x201)(xx0)x30 x016.又直线 l 过点(0,0)，返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建0(3x201)(x0)x30 x016.整理得，x308，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建法二：设直线 l 的方程为
7、 ykx，切点为(x0，y0)，则 ky00 x00 x30 x016x0，又kf(x0)3x201，x30 x016x03x201.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(3)切线与直线yx43垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x2014，x01.x01，y014 或x01，y018.即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建规律方法 1.导
8、数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0fx0 xx0，明确“过点Px0，y0的曲线yfx的切线方程”与“在点Px0，y0处的曲线yfx的切线方程”的异同点2.围绕着切点有三个等量关系：切点x0，y0，则kfx0，y0fx0，x0，y0满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建跟踪训练1直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b_.解析 yx3ax1过点(2,3)，a3，y3x23，ky|x23439，bykx39215.答案 15返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建函数的单调性与导数(1)f(x)
9、是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()【导学号：31062108】Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a)(2)设f(x)aln xx1x1，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(1)A 令F(x)fxx，则F(x)xfxfxx2.又当x0时，xf(x)f(x)0，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减又ab，F(a)F(b)，faa fbb，bf(a)af(b)，故选A.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(2)函数f(x)的定义域为
10、(0，)f(x)ax2x12ax22a2xaxx12.当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a12时，0，f(x)12x12xx12 0，函数f(x)在(0，)上单调递减返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建当a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当12a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1a1 2a1a，x2a1 2a1a，由x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建所以 x(0，x1)时
11、，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建函数f(x)在0，a1 2a1a，a1 2a1a，上单调递减，在a1 2a1a，a1 2a1a上单调递增返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用fx与其导数fx之间的对应关系，然后结合函数的单调性等
12、知识求解求解参数范围的步骤为：1对含参数的函数fx求导，得到fx；2若函数fx在a，b上单调递增，则fx0恒成立；若函数fx在a，b上单调递减，则fx0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有fx0.若fx0恒成立，则函数fx在a，b上为常函数，舍去此参数值.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建跟踪训练2若函数f(x)13 x3 12 ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围解 函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函
13、数，不合题意返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5,7返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建函数的极值、最值与导数 已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3
14、，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建当 2t3 时，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2 2 t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个
15、f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以 f(x)maxf(0)2.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建母题探究：(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解 令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0；在x(2,3上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则g10，g20，g30，解得2c0.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建规律方法 1求极值时一般需确定fx0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点
16、只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建跟踪训练3已知a，b为常数且a0，f(x)x332(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0,3上的最小值为232，求a，b的值.【导学号：31062109】解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建当 x 变化时，f
17、(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值 极小值 所以当 x1 时，f(x)有极大值 2，即 3a2b3.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a)上为减函数，在(a,3上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)12a332a2b.即12a332a2b232.又由b32a2，于是有a33a23a260，返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建即(a1)327，所以a2，b32.当a3时，由(1)知f(x)在0,3上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)232，从而求得a10748，不合题意，舍
18、去综上，a2，b32.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建生活中的优化问题 某企业拟建造如图1-1所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 643立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已图1-1知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建解 由题意可知4r33 r2l643，l643r24r3.又圆柱的侧面积为2
19、rl1283r 8r23，两端两个半球的表面积之和为4r2.所以y1283r 8r2334r24128r8r2.又l643r24r3 0r2，所以定义域为(0,2)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建(2)因为 y128r2 16r16r38r2，所以令 y0，得 2r2；令 y0，得 0r2.所以当 r2 米时，该容器的建造费用最小，为 96 千元，此时 l83米返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建规律方法 解决优化问题的步骤1要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在
20、这个过程中，导数是一个有力的工具.3验证数学问题的解是否满足实际意义.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建跟踪训练4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建解(1)依题意得y500 x(9600.6x2)480 000 x300 x，函数的
21、定义域为(0,35，即y480 000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知y480 000 x300 x(0 x35)，所以y480 000 x2300.令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当0 x35时，y0，所以y 480 000 x300 x在(0,35上单调递减，故当x35时，函数y480 000 x300 x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建函数方程思想 设函数f(x)x36x5，xR.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)a有
22、3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围.【导学号：31062110】返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建解(1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1 2，x2 2.当x(，2)(2，)时，f(x)0，当x(2，2)时，f(x)0，因此x1 2，x2 2分别为f(x)的极大值点、极小值点(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有3个不同交点需54 2f(2)af(2)54 2.则方程f(x)a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(542，54 2)返首页专题强化训
23、练题型探究核心速填体系构建(3)法一：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因为x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建法二：直线 yk(x1)过定点(1,0)且 f(1)0，曲线 f(x)在点(1,0)处切线斜率 f(1)3，由(2)中草图知要使 x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需 k3.故实数k 的取值范围为(，3返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建规律方法 讨论方程根的个数，研究函数图象与 x 轴或
24、某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极最值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极最值列出，然后再借助单调性和极最值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建跟踪训练5已知函数 f(x)ex 1xa，aR，试讨论函数 f(x)的零点个数解 函数 f(x)的定义域为x|xa(1)当 xa 时，ex0，xa0，f(x)0，即 f(x)在(a，)上无零点(2)当 xa 时，f(x)exxa1xa，令 g(x)ex(xa)1，则 g(x)ex(xa1)返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建由 g(x)0 得 xa1.当 xa1 时，g(x)0；当 xa1 时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当 a1 时，g(a1)0，xa1 是 f(x)的唯一零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点返首页专题强化训练题型探究核心速填体系构建专题强化训练（一）点击上面图标进入 谢谢观看