1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第三册)7.4.2超几何分布【知识梳理】知识点超几何分布1定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2均值：E(X).【题型归纳】题型一、超几何分布的辨析1分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示：(1)某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班
2、级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为X；(2)已知女性患色盲的概率为，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X；(3)学校要从3名男教师和4名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为X2下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人选派4名学生参加学校组织的活动，班长
3、必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布题型二、超几何分布的概率3某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；(2)他能过关的概率4已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为20，15，10现采用分层抽样的方法从中抽取9人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？(2)若抽出的9人中有4人睡
4、眠不足，5人睡眠充足，现从这9人中随机抽取3人做进一步的访谈调研，若随机变量X表示抽取的3人中睡眠充足的成员人数，求X的分布列与数学期望题型三、超几何分布与二项分布间的关系5一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.（1）求，的分布列；（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.6为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计
5、了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【双基达标】1从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则P(1)等于（）ABCD2在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（）ABCD3中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中
6、国世界级精品的旅游风景区等级某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是（）A至少有1个5A级景区B有1个或2个5A级景区C有2个或3个5A级景区D恰有2个5A级景区4一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数这四种变量中服从超几何分布的是()ABCD5已知某10件产品中含有次品，且次品率不超过40%，从这10件产品中抽取2
7、件进行检查，其次品数为，若，则这10件产品的次品率为（）A10%B20%C30%D40%6下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（）A将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为7有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的件数，则ABCD8（多选）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（）A随机变量服从
8、二项分布B随机变量服从超几何分布CD9已知盒中装有个红球和3个黄球，从中任取2个球（取到每个球是等可能的），随机变量X表示取到黄球的个数，且X的分布列为则_.X012Pab103月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率_.112021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻
9、坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.12某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分
10、布直方图将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望【高分突破】1中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼，6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（）ABCD2易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、
11、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（）ABCD3某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（）A至少有个深度贫困村B有个或个深度贫困村C有个或个深度贫困村D恰有个深度贫困村4新冠肺炎疫情期间，某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，
12、则小王正确完成面试题数的均值为()A1B2C3D45（多选）为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（）A的取值范围为BCD6（多选）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（）AB随机变量X服从二项分布C随机变量X服从超几何分布D7“202
13、0武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是_8从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)=_.(结果用式子表示即可)92021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就,习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提
14、出了明确的要求.为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A、B、C的10人中随机选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关工作.其中部门A、B、C可选派的人数分别为3、3、4.(1)求选派的4人中恰有2人来自部门C的概率；(2)选派的4人中来自部门A、B、C的人数分别为x，y，z，记，求的分布列和数学期望.注：10为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了全民健身计划（）某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为、，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中、成公比为的等比数列(1)若从
15、得分在分以上的样本中随机选取人，用表示得分高于分的人数，求的分布列及期望；(2)若学校打算从这名学生中依次抽取名学生进行调查分析，求在第一次抽出名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的名学生分数在同一分组区间的概率【答案详解】【题型归纳】1(1)(2)(3)【详解】(1)依题意不戴眼镜的人数为服从参数为30，5，20的超几何分布，即(2)依题意每次抽到患色盲的概率为，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为，则(3)抽取的人中男教师的人数为服从参数为，的超几何分布，即2【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类随机变
16、量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题3(1)分布列见解析， (2)【详解】(1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3， 的分布列为0123 数学期望(2)他能过关的概率为4(1)分别抽取人，人，人(2)分布列见解析，【详解】(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为，应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为，解得，应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取人，人，人；(2)随机变量的所有可能取值为，则， 随机变量的分布列为随机变量的数学期望.5（1）答案
17、见解析；（2）均值相等，理由见解析.【详解】（1）随机变量的可能取值为0，1，2，且，.因此的分布列为012随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，.因此的分布列为012（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.6（1），；（2）选择学生，理由见解析.【详解】（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.（2）的可能取值为1，2，3，则；.所以，.易知，所以，.因为，所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.【双基达标】1D【详解】故选：D2D【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件
18、，则至少取到1件次品的概率为故选：D3B【详解】用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且，所以，即有1个或2个5A级景区的概率为故选：B4B【详解】对于，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理中的随机变量不服从超几何分布.对于，的可能取值为，表示取出4个白球；表示取出3个白球1个黑球；表示取出2个白球2个黑球；表示取出1个白球3个黑球；表示取出4个黑球；因此服从超几何分布.由超几何分布的概念知符合，故选：B.5B【详解】设这10件产品中有件次品，则，即，解得或.又该产品的次
19、品率不超过40%，所以，所以，所以这10件产品的次品率为.故选：B.6B【详解】由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.故选：B.7B【详解】根据题意， 故选：B.8BCD【详解】由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确；随机变量的取值范围为，故，故C，D正确故选：BCD91【详解】由题意知：，解得：或(舍去)；由，知，所以；故答案为：110【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件；女生得2分男生得4分，设为事件；女生得4分男生得2分，设为事件，则：，.故答案为：11(1)(2)
20、分布列见解析，【详解】(1)记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D.则，故.(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.，则X的分布列为X234P故.12(1)中位数为，众数等于25(2)分布列见解析，0.9【详解】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，则中位数在区间上设中位数为，则，即样本中位数为(2)根据题意，在，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3，从而得到随机变量的分布列如下表：0123P随机变量的期望【高分突破】1D【详解】
21、设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B，“在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼”为事件，所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为故选：D2C【详解】由题意可知，个数中，、是阳数，、是阴数，若任取个数中有个阳数，则，若任取个数中有个阳数，则，故这个数中至少有个阳数的概率，故选：C.3B【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，故，所以，.故选：B4B【详解】设小王正确完成的面试题数为，则的可能取值为1，2，3；故选：B另解：设小王正确完成的面试题数为，则，故选：B5BC【详解】的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，所以.故选：B
22、C.6ACD【详解】由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；的取值分别为0，1，2，3，4，则，故，正确故选：7【详解】由题意，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况，则所求概率为.故答案为：.8【详解】“由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有种.如果都不相邻的位偶数有种，即先排好个偶数，然后奇数在前面的个空位中任排.如果相邻，与不相邻，即捆绑起来，方法数有种，即先将捆绑起来，然后排好个偶数，接着将与插空到前面个空位中.由此求得“1,3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有种，其它情况有种.根据超几何分布概率计算公式有.9(1)(2)分布列见解析，【详解】(1)记“选派的4人中恰有2人来自部门C”为事件A，则；(2)由题设的所有可能取值为1，2，3，4，所以的分布列为1234P则.10(1)分布列见解析，期望为；(2).【详解】(1)由题意得，因为，所以由分层抽样，抽出的名学生中得分位于区间内有人，位于内有人，位于内有人，位于内有人，位于区间学生有人，这样，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，所以的可能取值有、，所以的分布列为：所以.(2)记事件第一次抽出名学生分数在区间内，记事件后两次抽出的名学生分数在同一分组区间内，则，由条件概率公式可得.
