1、7.3.2离散型随机变量的方差 （基础知识+基本题型）知识点一 随机变量的方差与标准差设离散型随机变量X的分布列为我们称D(X)= 为随机变量X的方差，并称其算术平方根， 为随机变量X的标准差提示(1) 描述了相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)= 是这些偏离程度的加权平均刻画了随机变量X与其均f值E (X)的平均偏离程度，也就是说，随机变量X的方差就是随机变量X的每一个取值与其均值的差的平方再乘X取该值的概率的和，所以要求随机变量的方差，应先求出其分布列(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，即随机变量集中的位置是随机变量的均值，方差或标准差越小，则随机变量
2、偏离于均值的平均程度越小(3)若样本数据为则样本的方差为，其中，样本不同，其方羞也不同，即样本的方差是一个随机变量，而随机变量的方差是一个常数，不随样本变化而变化对于简单随机抽样，随着样本容量曲增加，样本的方差越求越接近于总体方差知识点 二两点分布的方差若X服从两点分布，则D(X)=p(l-p)知识点三 离散型随机变量的方差的性质当为常数时，随机变量的方差拓展性质的证明：设离散型随机变量的分布列为令 (为常数)，则的分布列为由数学期望的性质知故归纳（1）从上面的结论可以看出，平移变换不改变随机变量的方差，但伸缩变换改变随机变量的方差 (2)当时，即常数的方差等于0 (3)当时，即随机变量与常数
3、之和的方差等于这个随机变量的方差本身 (4)当时，即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量的方差的乘积考点一 离散型随机变量的方差例1 袋中有5个大小相同的小球，其中白球1个，黑球4个，每次从中任取1个球，若取出的是黑球，则不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数的数学期望与方差解:由题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5离散型随机变量的分布列为12345总结:求离散型随机变量的方差的步骤:(1)明确随机变量的取值及每个值的试验结果;(2)求出随机变量的各取值对应的概率;(3)写出随机变量的分布列;(4)利用离散型随机变量的均值公式，求出的教学期望;(5)代入公式+，求出的
4、方差考点二 两点分布的方差例2 9粒种子分别种在三个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为05若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次(1)求某个坑补种次数的数学期望与方差;(2)每补种一个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列，并求出的数学期望与方差解:(1)某坑补种次数，服从两点分布又因为每个坑需要补种的概率为所以的分布列为01所以， (2)方法1: 设为需要补种的坑数，则又因为，故的取值可能为0，10，20，30则；故的分布列为0102030 考点三 方差性质的应用1直接应用例3 已知随机变量的分布列为1234
5、5若，则= _解析:因为所以答案: 总结:已知 (为常数)，求时先求出，再利用，分别计算出的值即可2在实际问题中的应用例4 袋中装有质地、形状、大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是(1)求袋中各种颜色球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差;(3)若，求出的值解:(1)设袋中有个黑球由题意得，解得设白球的个数为由题意，得即解得或（舍去）所以袋中有5个白球，4个黑球，1个白球(2)的取值可能为0，1，2，3则所以随机变量的分布列为0123所以(3)因为，所
6、以，即又因为，所以 利用公式将求的问题转化为求的问题，从而可以避免求的分布列的烦琐的计算，解题时可以根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算考点四 离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用1比较技术水平或产品质量问题例5 甲、乙两名工人加工同一种零件，设两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为，和的分布列如下：012012试对这两名工人的技术水平进行比较解：工人甲生产出的次品数的均值和方差分别为，工人甲生产出的次品数的均值和方差分别为，由，知两人生产出次品的平均数相同，故技术水平相当，但，可见工人乙的技术比工人甲的稳定数学期望体现了随机变量的均值的大小，但有时仅知道均值的大小还不够如果两
7、个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围如何变化，即方差的大小方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明随机变量的取值较集中、稳定2分析利润或决策问题例6 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 (单位:元)关于当天需求量(单位:枝，)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表:日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，表示
8、当天的利润(单位:元)求的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由解:(1)当日需求量时，利润 当日需求量时，利润所以当天的利润y关于当天需求量的函数解析式为(2)可能的取值为，并且所以的分布列为607080010207所以答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润(单位:元)则的分布列为556575850102016054由以上的计算结果可以看出，即当购进16枝玫瑰花时，利润波动相对较小另外，虽然，但两者相差不大，故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润(单位:元)，则的分布列为556575850102016054由以上的计算结果可以看出，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰花时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花
