1、7.3 复数的三角表示学习目标1、通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；2、了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；3、了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；4、发展数学抽象和数学运算的核心素养。常考题型知识梳理一、复数的辅角1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z的辅角.2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍.规定：其中在00时，arg z=22、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此
2、，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义1、复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)，则z1z1=r1r2cos1+2+isin1+2这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转2（如果20，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角2），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2，这就是复
3、数乘法的几何意义。3、复数乘法运算三角表示推广：z1z2zn=r1cos1+isin1r2cos2+isin2rncosn+isinn =r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n) 特别的，当z1=z2=zn=r(cos+isin)时，r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn)四、复数除法运算的三角表示及其几何意义1、复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)则z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2cos12+isin12这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的
4、模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转2（如果20，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角2），再把它的模变成原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2，这就是复数除法的几何意义。题型一 复数的代数式与三角式互化【例1】（22-23高一全国课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（ ）A BC D【变式1-1】（22-23高一全国课时练习）的三角形式是 【变式1-2】（22-23高一全国课时练习）把下列复数化为三角形式（1）5 （2） （3） （
5、4）【变式1-3】（22-23高一全国课时练习）把下列复数表示成三角形式（1） （2） （3） （4）题型二 求复数的辅角主值【例2】（22-23高一下福建厦门期中）已知复数，则（ ）A B C D【变式2-1】（22-23高一全国课时练习）复数（i为虚数单位）的辐角主值为 【变式2-2】（22-23高一全国课时练习）的辐角主值为（ ）A B C D【变式2-3】（22-23高一全国课时练习）已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是 题型三 三角形式下复数的乘法运算【例3】（2023高一下全国专题练习）计算：（1）；（2）.【变式3-1】（22-23高一全国课时练习）设复数，求证：（1），
6、1都是1的立方根；（2）【变式3-2】（22-23高二上广东惠州阶段练习）法国数学家棣莫弗（16671754）发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得（ ）A B1 C D【变式3-3】（22-23高一下上海杨浦期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 .题型四 三角形式下复数的除法运算【例4】（2022高一全国专题练习）计算： (用代数形式表示)【变式4-1】（2023高一下全国专题练习）计算：【变式4-2】（22-23高一全国课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）A B C D【变式4-3】（22-23高一全国课时练习）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： 【变式4
7、-4】（22-23高一全国课时练习）计算：（1）；（2）；（3）题型五 复数乘、除运算的几何意义【例5】（22-23高一全国课时练习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ）Ai BI Ci Di【变式5-1】（22-23高一下上海浦东新期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 .【变式5-2】（22-23高一下河南信阳阶段练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ）A， B C D【变式5-3】（22-23高一下湖北黄冈阶段练习）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120得到向量.（1）求点C对应的复数；（2）已知点B对应的复数z满足，且，求复数z.
