1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)7.3复数的三角形式【知识导学】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角叫作复数z=a+bi的辐角。(2)辐角主值0，2)内的辐角的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0arg z2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。(3)常用的有关辐角主值的结论当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是0，2)中的任一角。2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐
2、角主值分别相等。3.复数的三角形式复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角来表示：z=r(cos+isin)，其中，。r(cos+isin)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cos2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：=。因此，如果 就有 。这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。2.复数的除法设 则z除以z的商：)。这就是说，两个复数相除，商的模
3、等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。【考题透析】透析题组一：复数的三角表示1（2021上海市延安中学高一期末）的三角形式是（）ABCD2（2021上海高一课时练习）复数的三角形式为（）ABCD3（2021江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知复数z1，z2，则z1z2的代数形式是（）ABCiDi透析题组二：复数的辅角4（2021重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角已知复数满足 ，则的辐角为（）ABCD5（2021上海高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式
4、和它的辐角主值分别是（）A，BCD6（2021全国高二课时练习）复数的辐角主值是（）A40B310C50D130透析题组三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7（2021广东惠州高一期中）已知，则（）ABCD8（2021吉林长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）（2）当时，（3）当时， （4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A1B2C3D49（2021上海高一课时练习）已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（）ABCD【考点
5、同练】一、单选题10（2021吉林长春外国语学校高二期末（理）若复数，则（）ABCD11（2021广东惠州高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12（2021全国高一课时练习）已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120，且复数z的模为2，则复数z为（）A1iB2CD1i13（2021全国高一课时练习）把复数3i对应向量按顺时针方向旋转，所得向量对应复数为（）A2B2iC3iD3i14（2021上海高一单元测试）复数的三角形式为（）AB
6、CD15（2021全国高一课时练习）设z112i，z21i，z313i则argz1argz2argz3（）ABCD16（2021全国高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（）ABCD17（2022全国高三专题练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：；.其中所有正确结论的编号是（）ABCD18（2021上海高一课时练习）已知，则（）ABCD19（2021全国高一课时练习）（）ABCD20（2021全国高一课时练
7、习）下列表示复数的三角形式中；正确的个数是（）A1B2C3D4二、填空题21（2022上海复旦附中高二期末）已知复数满足，若和的幅角之差为，则_.22（2021全国高一课时练习）设复数，那么的共轭复数的代数形式是_23（2022全国高三专题练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_.24（2021天津经济技术开发区第一中学高一期中）若复数，则的辐角的主值为_25（2021上海市延安中学高一期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120得到向量，则向量所对应的复数为_(结果用复数的代数形式表示).26（2021浙江高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数（其中、，为
8、虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列法正确的是_；当，时，；当，时，；当，时，若为偶数，则复数为纯虚数；【答案精讲】1B【解析】【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式【详解】解：故选：2C【解析】【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.【详解】因为，辐角主值为，所以故选：C.3D【解析】【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4C【解析】【分析】根据题意，先求出复数，再结合，
9、即可求出.【详解】由得， 故，所以.故选C5B【解析】【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.【详解】由题可知，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.6B【解析】【分析】将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数，所以该复数的辐角主值是.故选：B7B【解析】【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案【详解】所以 ，故选：B8B【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为，所以，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），当时，则，所以（2）错误，对于（
10、3），当时，则，所以（3）正确，对于（4）， 当时，则当时， ，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B9B【解析】【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；【详解】解：设， 因为的辐角为，所以因为的辐角为，所以解得，所以故选：B10C【解析】【分析】根据已知条件，运用复数的乘法运算法则及复数的三角形式，即可求解【详解】解：，故选：C11C【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由己知得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限故选：C12D【解析】【分析】由复数对应向量与x轴正向夹角，及复数的模，应用复数的三角表示写出对应坐标，进而写出复数z代数形式.【详解】设复
11、数z对应的点为(x,y)，则，复数z对应的点为，故选：D.13C【解析】【分析】将复数化成三角形式为，从而得到其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数【详解】因为，其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为：.故选：C【点睛】复数乘法的几何意义：复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的在用到复数的三角表示式时，要先算出复数的模和辐角求解时注意向量旋转的方向14C【解析】【分析】根据复数的三角形式直接写出结果即可.【详解】因为，所以，辐角为，所以复数的三角形式为，故选：C.15C【解析】【
12、分析】根据复数辐角主值的范围，结合复数的性质，先求z1z2z3，从而求得其辐角主值，进而求得结果.【详解】z1z2z3(12i)(1i)(13i)(3i)(13i)10i，argz1argz2argz32k，kZ.argz1，argz2，argz3，argz1argz2argz3.argz1argz2argz3.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有多个复数辐角主值和的求解，属于简单题目.16A【解析】【分析】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.【详解】因为，所以，设，则，即，故.故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的综合
13、运算，较难. 解答时要注意将、化为三角形式然后再计算.17A【解析】【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.【详解】因为，故，故正确.，所以，故正确，错误.而.故正确，故选：A【点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法18D【解析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.19C【解析】根据复数三角形式乘法的运算法则，进行计算即可.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法法则，属基础题.20B【解析】根据复数的模和辐角的含义求出模及辐角主值，从
14、而得出结论【详解】解：，辐角主值为，故的表示是正确的，的表示不正确，故选：B【点睛】本题主要考查复数及其三角形式，计算出复数的模和辐角主值，是解答的关键，属于基础题21【解析】【分析】分别设，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.【详解】因为，设，所以由题意可知或，当时， ，当时， ，综上所述：，故答案为：.22#-i+【解析】【分析】计算，再计算共轭复数得到答案.【详解】，故.故答案为：.234【解析】【分析】由概念求出模长和辐角，再根据即可求解【详解】模长|z|=4，设辐角为，且点(-2，2)在第二象限，得辐角主值为，故z=4.故答案为：424.【解析】【分析】首先求出，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值.【详解】，所以的辐角的主值为.故答案为：.25【解析】【分析】把绕原点按顺时针方向旋转得到，可知与所对应的复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，可得与对应的复数为，故答案为：26【解析】【分析】利用复数的模长公式可判断的正误，利用复数的三角运算可判断的正误.【详解】对于，所以，而，则，所以，正确；对于，当，时，错误；对于，当，时，则，正确；对于，当，时，取，则，错误；对于，正确.故答案为：.
