1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换8.2.4 三角恒等变换的应用第2课时 三角函数的积化和差与和差化积栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.能根据公式 S和 C进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力(重点)1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.积化和差公式cos cos ；sin
2、 sin；sin cos ；cos sin 12cos()cos()12cos()cos()12sin()sin()12sin()sin()栏目导航栏目导航5 2.和差化积公式设 x，y，则 ，.这样，上面的四个式子可以写成，sin xsin y；sin xsin y；cos xcos y；cos xcos y.2sin xy2 sin xy2xy2xy22sin xy2 cos xy22cos xy2 sin xy22cos xy2 cos xy2栏目导航栏目导航6 思考：和差化积公式的适用条件是什么？提示 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与
3、一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式栏目导航栏目导航7 1.计算 sin 105cos 75的值是()A12 B14 C14 D12B sin 105cos 7512(sin 180sin 30)14.栏目导航栏目导航8 2.sin 20cos70sin10sin50的值为()A14 B14 C12 D12栏目导航栏目导航9 B sin20cos70sin10sin50 12sin2070 sin2070 12cos(1050)cos1050 12sin 90sin 50 12cos 40cos 60 1412sin 5012cos 40 1412sin 5012sin
4、5014.故选 B栏目导航栏目导航10 3.下列等式正确的是()Asin xsin y2sin xy2 sin xy2Bsin xsin y2cos xy2 cos xy2Ccos xcos y2cos xy2 cos xy2Dcos xcos y2sin xy2 sin xy2C 由和差化积公式知 C 正确栏目导航栏目导航11 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航12 积化和差问题【例 1】(1)求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.(2)求值：sin 20sin 40sin 60sin 80.思路探究 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角栏目导航
5、栏目导航13 解(1)sin 20cos 70sin 10sin 50 12(sin 90sin 50)12(cos 60cos 40)1412sin 5012cos 40 1412sin 5012sin 5014.栏目导航栏目导航14(2)原式cos 10cos 30cos 50cos 70 32 cos 10cos 50cos 70 32 12cos 60cos 40cos 70 38 cos 70 34 cos 40cos 70 38 cos 70 38(cos 110cos 30)38 cos 70 38 cos 110 316 316.栏目导航栏目导航15 积化和差公式的功能与关键
6、1功能：把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.栏目导航栏目导航16 1.求 sin220cos250sin 20cos 50的值解 原式1cos 4021cos 100212(sin 70sin 30)112(cos 100cos 40)12sin 7014 3412(2sin 70sin 30)12sin 70 3412sin 7012sin 7034.栏目导航栏目导航17 和差化积问题【例 2】已知 cos cos 12，sin si
7、n 13，求 sin()的值思路探究 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解栏目导航栏目导航18 解 cos cos 12，2sin2 sin2 12.又sin sin 13，2cos2 sin2 13.栏目导航栏目导航19 sin2 0，由，得tan2 32，即 tan2 32.sin()2sin2 cos2sin22 cos222tan21tan222321941213.栏目导航栏目导航20 1.(变结论)本例中条件不变，试求 cos()的值解 因为 cos cos 12，所以2sin 2 sin 2 12.又因为 sin sin 13，栏目导航栏目导航21 所以 2cos
8、 2 sin 2 13.因为 sin 2 0，所以由，得tan 2 32，即 tan 2 32.栏目导航栏目导航22 所以 cos()cos22 sin22sin22 cos22 1tan221tan2213221322 513.栏目导航栏目导航23 2.(变条件)将本例中的条件“cos cos 12，sin sin 13”变为“cos cos 12，sin sin 13”，结果如何？解 因为 cos cos 12，所以 2cos 2 cos 2 12.又因为 sin sin 13，所以 2sin 2 cos 2 13.栏目导航栏目导航24 所以 cos 2 0，所以由，得 tan 2 23，
9、所以 sin()2sin 2 cos 2sin22 cos22 2tan 21tan2222312321213.栏目导航栏目导航25 和差化积公式应用时的注意事项 1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：运用公式之后，能否出现特殊角；运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.栏目导航栏目导航26 3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如12cos cos 3cos.栏目导航栏目导航27 公式的综合应用探
10、究问题1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？提示 注意三角形中的隐含条件的应用，如 ABC，abc 等栏目导航栏目导航28 2.在ABC 中有哪些重要的三角关系？提示 在ABC 中的三角关系：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sinAB2cosC2，cosAB2sinC2，sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C栏目导航栏目导航29【例 3】在ABC 中，求证：sin Asin Bsin C4sinA2sinB2cosC2.思路探究 利用和差化积进行转化，转化时要注意 ABC.栏目导航栏目导航30 解 左边sin(BC)2sinBC2cos
11、BC2 2sinBC2cosBC22sinBC2cosBC2 2cosBC2sinBC2sinBC2 4sinA2sinB2cosC2右边，原等式成立栏目导航栏目导航31 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.栏目导航栏目导航32 2.在ABC 中，求证：sin Asin Bsin C4cos A2cos B2cos C2.证明 由 ABC180，得 C180(AB)，即C290AB2，cos C2sin AB2.sin Asin Bsin C 2sinAB2cosAB
12、2sin(AB)栏目导航栏目导航33 2sinAB2cosAB22sinAB2cosAB2 2sinAB2cosAB2cos AB2 2cos C22cos A2cosB2 4cos A2cos B2cos C2，原等式成立栏目导航栏目导航34 1.公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天”(正代表 sin，余代表 cos)2.公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.栏目导航栏目导航35 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航36 1.sin 75sin 15的值为()A12 B 22C 32D12B sin 75
13、sin 152cos75152sin751522 22 1222.故选 B栏目导航栏目导航37 2.函数 ysinx6 cos x 的最大值为()A12B14C1 D 22栏目导航栏目导航38 B ysinx6 cos x 12sinx6x sinx6x 12sin2x6 12 12sin2x6 14.函数 y 的取最大值为14.栏目导航栏目导航39 3.已知 sin()23，sin()15，则 sin cos _.1330 sin cos 12sin()12sin()122312151330.栏目导航栏目导航40 4化简下列各式：(1)cos Acos120Bcos120Bsin Bsin1
14、20Asin120A；(2)sin A2sin 3Asin 5Asin 3A2sin 5Asin 7A.栏目导航栏目导航41 解(1)原式cos A2cos 120cos Bsin B2cos 120sin A cos Acos Bsin Bsin A 2sin AB2sin BA22cos AB2sin BA2tan AB2.栏目导航栏目导航42(2)原式 sin Asin 5A2sin 3Asin 3Asin 7A2sin 5A 2sin 3Acos 2A2sin 3A2sin 5Acos 2A2sin 5A 2sin 3Acos 2A12sin 5Acos 2A1sin 3Asin 5A.栏目导航栏目导航43 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!