1、学案57随机事件及其概率、互斥事件导学目标： 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式自主梳理1事件的分类(1)在一定的条件下，_的事件，叫做必然事件(2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做_(3)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做_事件一般用大写字母A，B，C表示2频率与概率(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)在相同条件下，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会在某个_附近摆动
2、并趋于稳定，这个常数称为随机事件A的_3互斥事件、对立事件在同一次试验中，_的两个事件称为互斥事件，若A、B为互斥事件，则AB表示事件A、B至少有一个发生两个互斥事件_，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为.4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率：P(E)_.(3)不可能事件的概率：P(F)_.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_.(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)_，P(A)_.自我检测1下列事件：当x是实数时，x|x|2；某班一次数学测试，及格率低于75%；从分别标有0,1,2,3，9这十
3、个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；体育彩票某期的特等奖号码其中是随机事件的是_(填序号)2一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_(填序号)至多有一次中靶；两次都中靶；两次都不中靶；只有一次中靶3从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件是_(将正确说法的序号填在横线上)3个都是正品；至少有1个是次品；3个都是次品；至少有1个是正品4袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为_(填序号)5从一批羽
4、毛球中任取一个，质量小于4.8克的概率是0.3，质量不小于4.85克的概率是0.32，那么质量在4.8,4.85)克范围内的概率是_探究点一事件的判断例1(1)一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是_(填序号)至少有1个白球，都是白球；至少有1个白球，至少有1个红球；恰有1个白球，恰有2个白球；至少有1个白球，都是红球变式迁移1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订
5、阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究点二随机事件的频率与概率例2某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：(1)该中学参加本次高中数学竞赛的学生有多少人？(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)变式迁移2
6、某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率(1)补全上表(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？探究点三互斥事件与对立事件的概率例3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率变式迁移3一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？1随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率2正确区
7、别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)1P()可得解(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010广州模拟)下列说法：频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；当试验
8、次数很大时，可以将事件发生的频率作为概率的近似值其中正确的个数为_2从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是_(填序号)恰好有1件次品和恰好有两件次品；至少有1件次品和全是次品；至少有1件正品和至少有1件次品；至少1件次品和全是正品3某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是_(填序号)至多有1次中靶；2次都中靶；2次都不中靶；只有1次中靶4从1,2，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，
9、是对立事件的是_(填序号)5(2009安徽)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率为_6从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g501.5 g之间的概率约为_7(2011福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为
10、_8(2011上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为_(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)二、解答题(共42分)9(14分)(2010南京一模)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率10(14分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？11(14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、
11、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率学案57随机事件及其概率、互斥事件答案自主梳理1(1)必然会发生不可能事件(3)随机事件2(2)常数概率3.不能同时发生必有一个发生4(1)0P(A)1(2)1(3)0(4)P(A)P(B)(5)11P(B)自我检测12.3.4.5.0.38课堂活动区例1解题导引解决(1)这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本事件的含义，正确把握各个事件的相互关系，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要是依据
12、在一定条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现、可能出现也可能不出现，它们的概率(范围)分别为1,0，(0,1)要准确解答(2)这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生解(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率是0.由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随
13、机事件，它的概率是.由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是1.(2)中的两个事件不互斥，当然也不对立，的两个事件互斥而不对立，的两个事件不但互斥而且对立，所以本题正确答案应为.变式迁移1解(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生也会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸
14、”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件例2解题导引本题利用直方图求出获奖的频率，作为概率的近似值通过大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率是求一个事件的概率的基本方法
15、注意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其附近摆动解(1)由频数分布直方图可知，参加本次数学竞赛的学生有46875232(人)(2)90分以上的人数为75214(人)，获奖的频率为，即本次竞赛获奖的概率大约是.变式迁移2解(1)频率是在试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，由此得，进球频率依次是，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)因为频率是概率的近似值，所以这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.例3解题导引用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件
16、，再决定用哪一个公式利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想，利用对立事件求概率体现了“正难则反”的策略解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，
17、即A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为A1A2A3的对立事件为A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.变式迁移3解方法一从9张任取2张共有36种，记为(1,2)，(1,3)，(8,9)，记事件A为任取2张，号数至少有一个为奇数，则A(1,2)，(1,9)，(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,9)，(3,4)，(3,9)，(8,9)共有8463422130.P(A).方法二事件A的对立事件为任取2张，号数都为偶数，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种P(A
18、)1P()1.课后练习区13解析由概率的相关定义知正确23解析由互斥事件定义可知，如果两事件互斥，两个事件不能同时发生“至少有一次中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”故、都能同时发生451解析由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正
19、三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.60.257解析从5个球中任取2个球有C10(种)取法，2个球颜色不同的取法有CC6(种)，故所求概率为.80.985解析9位同学出生月份的所有可能种数为129,9人出生月份不同的所有可能种数为A，故P110.015 470.985.9解(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A，则事件A的概率P(A).(7分)(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(B)1.(14分)10解设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P
20、(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)1P(A)P(B)P(C)P(D)1.(10分)解得P(B)，P(C)，P(D).故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，.(14分)11解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1
21、，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)共18个基本事件组成(4分)由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，事件M由6个基本事件组成，因而P(M).(7分)(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件由3个基本事件组成，(9分)所以P()，由对立事件的概率公式得：P(N)1P()1.(14分)
