1、云南省昆明一中 2021 届高三数学诊断性考试试题 文(含解析)本试卷共 4 页,22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答;用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小
2、题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|03Axx,若 1AB,则集合 B 可以是()A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.1,2,3 【答案】A【解析】【分析】直接利用交集运算即得解.【详解】集合03Axx,0,1B 满足条件.故选:A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2.若复数 z 满足i1 iz (i 是虚数单位),则 z 的共轭复数是()A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案【详解】解:由1z ii ,得21(
3、1)()1iiiziii,1zi ,故选:B 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题 3.设3535a 353()5a,353log 2b,3532c,则 a,b,c 的大小关系是()A.abc B.acb C.bac D.bca【答案】C【解析】【分析】根据指数对数函数的单调性,确定 a,b,c 的范围,进而比较大小即可.【详解】由题可得305331550a,33553loglog 102b,30533122c.所以bac.故选:C【点睛】本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小,属于基础题.4.cos300=()A.12 B.1-2 C.32 D.3-2
4、【答案】A【解析】由题意结合诱导公式有:1cos300cos 36060cos602.本题选择 A 选项.5.已知正项等比数列 na中,432aaa,若1237aaa,则8a ()A.32 B.48 C.64 D.128【答案】D【解析】【分析】设公比为q,根据等比数列通项公式由条件列方程求解即可.【详解】由432aaa得221a qq,所以11a ,又因为1237aaa,得217qq,所以2q=,782128a.故选:D【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查学生的运算求解能力.6.函数2ln2()|xf xxx的图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由定义可判断函数()f
5、 x 是奇函数,且11()2ln024f,故可采用排除法选出正确答案.【详解】函数 f x 的定义域为|0 x x,又 2222 ln()|lnxxxfxf xxxx,所以函数()f x 是奇函数,故排除 A,C;又因为11()2ln024f,故排除 D.故选:B【点睛】本题考查函数图象的判断与应用,考查函数的特殊值的计算,是中档题.已知函数解析式,选择其正确图象是高考中的高频考点,主要采用的是排除法,考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质.7.已知双曲线2221(0)yxbb的离心率为 3,则b ()A.2 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由双曲线中离心率公式和
6、222cab,即可求解.【详解】由双曲线2221(0)yxbb可知1a ,因为2213cbeaa,所以2b.故选:A【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题,解题的关键是熟练掌握离心率公式,属于基础题.8.已知非零向量a,b 满足|abab,则 a 与b 的夹角为()A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】D【解析】分析】ab与 ab分别为平行四边形的两条对角线,对角线相等,则 ab.【详解】因为 ab与 ab分别为平行四边形的两条对角线,|abab,对角线相等,所以ab 故选:D.【点睛】本题考查向量和差运算的平行四边形法则,属于基础题.9.如图所示的程序框图,是为计1111112344
7、950S ,则在空白判断框中应填入的是()A.50i B.51i?C.50i?D.51i?【答案】A【解析】【分析】根据程序框图,确定,N T,由框图的作用,即可得出结果.【详 解】由 程 序 框 图 可 得,SNT中 的1111354 9N,111124650T,则空白判断框应填50?i,故选:A.【点睛】本题主要考查补全循环程序框图,属于基础题型.10.函数2()sin(0,)2cos xf xxx 的最大值为()A.1 B.54 C.32 D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意,将原式整理,得到215()cos24f xx,进而可求出结果.【详解】因22215()sincoscosco
8、s1cos24f xxxxxx ,由0,2x 得cos0,1x,所以当1cos2x 时,max5()4f x,故选:B.【点睛】本题主要考查求含三角函数的二次式的最值,属于基础题型.11.已知抛物线2:2(0)C xpx p的焦点为 F,准线为l,点 M 是抛物线C 上一点,MHl 于 H.若4MH,60HFM,则抛物线C 的方程为()A.216yx B.28yx C.24yx D.22yx【答案】C【解析】【分析】根据题意,得到4MFMH,推出MHF为正三角形,求出4HF,记准线l 与 x 轴交于点Q,根据sinpQFHFQHF即可求出结果.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距
9、离,所以4MFMH,又60HFM,所以MHF为正三角形,所以4HF,记准线l 与 x 轴交于点Q,则30QHF,所以osin4sin302pQFHFQHF,所以该抛物线方程为:24yx.故选:C.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程,熟记抛物线的定义,以及抛物线方程的标准形式即可,属于基础题.12.已知函数()ln1xf xxexx,若对任意(0,)x,使 f xa,则 a 的最大值为()A.0 B.2e C.1 D.1e 【答案】A【解析】【分析】将函数()f x 的解析式化为ln()(ln)1x xf xexx,再构造函数1xyex ,利用导数可知,当0 x 时,函数1xyex 取得最小值
10、0,所以当ln0 xx时,()f x 的最小值为 0,所以0a,所以 a 的最大值为 0.【详解】ln()ln1ln1xxxf xxexxeexx ln(ln)1x xexx,令1xyex ,则1xye ,由0y,得10 xe ,得0 x,由0y,得10 xe ,得0 x,所以1xyex 在(,0)上递减,在(0,)上递增,所以当0 x 时,0min0 10ye ,即10 xyex,所以ln(=(ln)10 x xf xexx ),当ln0 xx时取“”,所以()f x 的最小值为 0,所以0a,所以 a 的最大值为 0.故选:A.【点睛】本题考查了转化化归思想,考查了利用导数求函数的最值,考
11、查了利用导数处理不等式恒成立问题,解题关键是将ln xx看做一个整体构造函数,再利用导数处理.属于中档题.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.曲线2ln1yxx 在点1,2 处的切线方程为_【答案】3-1yx【解析】【分析】先对原函数求导,再令 x=1 解出切线的斜率,利用点斜式求出切线方程【详解】解:令 21ln1,2,12 13fxxxfxxfx ,3k,切线方程231,31yxyx 故填:3-1yx 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,应用导数求切线方程 14.若变量 x,y 满足约束条件22390 xyxyx,则2zxy的最小值是_.【答案】6 【解析】【
12、分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】满足约束条件22390 xyxyx 可行域如图所示,目标函数2zxy对应直线22xzy ,当 z 最小时,纵截距 2z 最小,所以平移直线2xy 过点 0,3B时,纵截距最小,此时min6z .故答案为:6 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);
13、(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中,若 E、F、G 分别是 AB、AD、11BC 的中点,则该正方体的过 E、F、G 的截面面积为_.【答案】3 34【解析】【分析】先根据题意找出截面为正六边形,进而求得正六边形的面积即可.【详解】由图可知,截面为一个的正六边形,正六边形的边长为22112+=222,所以截面的面积为1223 36(sin)22234.故答案为:3 34【点睛】本题主要考查空间几何体截面问题,解题时要准确找出截面形状.16.数学中有许多寓意美好的曲线,曲线32222:4Cxyx y被称为“幸运四叶草曲线”(如图所示).
14、给出下列四个结论:曲线 C 关于直线 yx 对称;存在一个以原点为中心、边长为 1 的正方形,使得曲线 C 在此正方形区域内(含边界);存在一个以原点为中心、半径为 1 的圆,使得曲线 C在此圆面内(含边界);曲线 C 上存在一个点 M,使得点 M 到两坐标轴的距离之积等于 1.其中,正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据曲线的方程进行分析、求解、判断【详解】在曲线 C 上任取一点 P(x,y),关于 yx 对称的点为 Q(,)xy,显然也满足方程322224xyx y,故正确;显然曲线关于 yx 对称,令 yx,代入曲线 C 的方程,解得2222xy ,显然点22,22不在一个以原
15、点为中心,边长为 1 的正方形内,所以存在一个以原点为中心、边长为 1 的正方形,使得曲线 C 在此正方形区域内(含边界),错误;由2222222244()()2xyx yxy,所以22 322 2()()xyxy,即:221xy,当2212xy取等号,此时,点22()22P,在曲线上,而1PO,所以正确,因为22122xyxy,所以错误,故答案为:【点睛】本题主要考查曲线与方程的应用,不等式的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某地六月份 30 天的日最高气温的统计表如下:日最高气温t(单位:C)22 Ct 2
16、2 C28 Ct 28 C32 Ct 32 Ct 天数 7 11 Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于 32的频率为 0.8.(1)求 Y,Z 的值;(2)把日最高气温高于 32称为本地区的“高温天气”,已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有 2 天“旺销”,“非高温天气”有 6 天“不旺销”,根据已知条件完成下面 22列联表,并据此是否有 95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关?说明理由.高温天气 非高温天气 合计 旺销 不旺销 合计 附:22()()()()()n adbcKab cd ac bd 2
17、P Kk 0.050 0.010 0.0010 旺销 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)6Z,6Y;(2)填表见解析;没有;答案见解析.【解析】【分析】(1)根据六月份的日最高气温不高于 32的频率为 0.8,得到日最高气温高于o32 C 的频率为10.8=0.2,由30 0.2Z求解.(2)根据列联表,利用22()()()()()n adbckab cd ac bd求得2k,对照临界表下结论.【详解】(1)由已知得:日最高气温高于o32 C 的频率为10.8=0.2,所以300.26Z,30(7 11 6)6Y.(2)高温天气 非高温天气 合计 旺销 2 18 20 不旺销
18、 4 6 10 合计 6 24 30 22()()()()()n adbckab cd ac bd 230(264 18)62420 10 3.75 因为3.753.841,所以没有95 的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关.【点睛】本题主要考查统计表的应用以及独立性检验,属于基础题.18.已知 ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,2b,2242cac.(1)求 A 的值;(2)从2 3sinaB,4B两个条件中选一个作为已知条件,求sin C 的值.【答案】(1)23A;(2)选择见解析;62sin4C.【解析】【分析】(1)由余弦定理结合已知即得解;(2)选
19、择2 3sinaB,利用正弦定理求出4B,再利用sinsin()CAB即得解;选择4B,利用sinsin()CAB即得解.【详解】(1)由2242cac 得:22222421cos22 242bcacacAbccc,又因为0A,所以23A.(2)选择作为已知条件.在 ABC 中,由2 3sinaB,以及正弦定理 sinsinabAB,得2 3sin22sinsin 3BB,解得21sin2B,由23A,得 B 为锐角,所以4B,因为在 ABC 中,ABC,所以 sinsin()sincoscossinCABABAB 22sincoscossin3434,所以62sin4C.选择作为已知条件,因
20、为在 ABC 中,ABC,所以sinsin()sincoscossinCABABAB 22sincoscossin3434,所以62sin4C.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查和角的正弦公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.设数列 na满足11a ,*12()nnnana N.(1)求数列 na的通项公式;(2)设2lognnba,求数列23100bbb的值.【答案】(1)(1)22n nna;(2)166650.【解析】【分析】(1)利用累乘法即可求数列 na的通项公式;(2)求出数列 nb的通项公式,利用分组求和法求出23100bbb.【详解】(1)因为
21、121121()nnnnnaaaaaaaa(2n),所以(1)122(222)12n nnnna(2n),当1n 时,11a ,所以数列 na的通项公式为(1)22n nna;(2)因为222(1)11log2222nnn nnnbann(2n),所以2222310011(23100)(23100)22bbb 22222 10099111231001222 1100 101 201100981166650264【点睛】本题考查数列的通项公式和数列的前n 项和的计算,考查了累乘法和分组求和法,考查学生的运算求解能力.20.如图,直三棱柱111ABCABC中,12ABACAA,2 2BC,D,E
22、分别是 BC,1CC 的中点.(1)证明:1B D 平面 ADE;(2)求三棱锥1DAB E的高.【答案】(1)证明见解析;(2)1.【解析】【分析】(1)由题意,根据线面垂直的判定定理,直接证明即可得出结论成立;(2)设三棱锥1DAB E的高为h,根据11D AB EBADEVV,由题中数据,结合棱锥的体积公式,即可求出结果.【详解】(1)由已知得:12BBBDDCCE,所以1Rt B BDRt DCE,所以1BB DCDE,所以o190B DE,所以1B DDE,又因为 ABAC,D 是 BC 的中点,所以 ADBC,因为直三棱柱111ABCABC中,侧棱和底面垂直,所以1BB 平面 AB
23、C;因此1BBAD,又1BBBCB,1,BB BC 平面11BCC B;所以 AD 平面11BCC B,所以1ADB D,而 ADDED,,AD DE 平面 ADE,所以1B D 平面 ADE;(2)设三棱锥1DAB E的高为h,因为12ABACAA,2 2BC,由题意可得122ADBC,223DEDCCE,21126BBBDBD,因此11623222ADESAD DE,所以11113BADEADEVSB D,由12 2AB,5AE,13B E,得:18591cos22 2510B AE,所以13sin10B AE,所以1132 253210AB ES,由11D AB EBADEVV,得:11
24、13AB ESh,所以1h.【点睛】本题主要考查证明线面垂直,考查等体积法求三棱锥的高,属于常考题型.21.已知函数 ln1f xxx.(1)求函数 f x 的单调区间;(2)证明:当1a 时,23ln0axxx.【答案】(1)f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求得函数的导数1()xfxx,根据导函数的符号,即可求得函数的单调区间;(2)由(1)中函数的单调性,证得 ln(1)xx,再由223ln3(1)axxxaxxx,令2()3(1)g xaxxx,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】(1)由题意,函数 ln1f xxx 的定义
25、域为(0,),且11()1xfxxx,所以1x 时,()0fx;01x 时,()0fx,所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.(2)由(1)得:()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以()(1)0f xf,即:ln1xx,所以 ln(1)xx.由于223ln3(1)axxxaxxx,令22()3(1)21g xaxxxaxx211()1a xaa,因为1a,所以110a,所以()0g x,即:23ln0axxx.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,
26、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,作出证明;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题 22.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点(2,0)P,离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设直线:1l yk x与椭圆 E 交于 A,B 两点,若 OAB 的面积为 23,求直线 l 的方程.【答案】(1)2212xy;(2)10 xy 或10 xy.【解析】【分析】(1)由题干条件可知:2a,22ca,结合222abc即可求出b 的值,从而求出椭圆方程;(2)直线与椭圆联立可求出12xx,12x x,又1212OABSyy,可求出1243yy,
27、根据直线方程可知12yy221212()2 4(1)(1)k xxkkxx,从而解出k 的值.【详解】解:(1)设椭圆 E 的方程为:22221xyab(0)ab,由已知:222222acaabc 得:22a,21b ,所以,椭圆 E 的方程为:2212xy.(2)设11()A xy,22()B xy,(1,0)N 由22(1)12yk xxy,得2222(1 2)4220kxk xk 所以2122412kxxk ,21222212kx xk,而12121122OABSONyyyy,由已知23OABS得1243yy,1221212()4yyyyyy 221212()2 4(1)(1)k xxkkxx 222 2244(12)12kkkk,所以222 224416(12)129kkkk,化简得:4220kk,所以1k ,所以直线l 的方程为:10 xy 或10 xy.【点睛】本题考查根据椭圆的性质去椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积,考查韦达定理的应用,同时考查了学生的转化能力与计算能力,属于中档题.