1、张家口市20182019学年度第二学期期末教学质量监测高二数学（理科）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.考试时间120分钟，满分150分.3.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出,再求得解.【详解】由题得，所以=.故选：D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解
2、掌握水平，属于基础题.2.已知命题，.则命题为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】命题，.命题为，.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3.某同学从家到学校要经过两个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口都遇到红灯的概率为，则他在第二个路口遇到红灯的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】记在两个路口遇到红灯分别为事件A，B，由于两个事件相互独立，所以，代入数据可得解.【详解】记事件A为：“在第一个路口遇到红灯”，事件
3、B为：“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以，所以.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率问题，考查运用概率的基本运算.4.利用反证法证明：若，则，应假设（ ）A. ，不都为B. ，都不为C. ，不都为，且D. ，至少一个为【答案】A【解析】【分析】表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【详解】反证法是先假设结论不成立，结论表示“都是0”，结论的否定为：“不都是0”.【点睛】在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把它们的否定误认为是“都不是”、“全不是”.5.在平面内，点到直线距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（
4、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.设，是实数，则的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式的基本性质证明与可进行互推.【详解】对选项C进行证明，即是的充要条件，必要性：若，则两边同时3次方式子仍成立，成立；充分性：若成，两边开时开3次方根式子仍成立，成立.【点睛】在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.7.现有甲、乙等名同
5、学排成一排照相，则甲、乙两名同学相邻，且甲不站两端的站法有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】【分析】对5个位置进行编号1，2，3，4，5，则甲只能排在第2，3，4位置，再考虑乙，再考虑其它同学.【详解】对5个位置进行编号1，2，3，4，5，甲不站两端，甲只能排在第2，3，4位置，（1）当甲排在第2位置时，乙只能排第1或第3共2种排法，其他3位同学有种，共有种；（2）当甲排在第3位置时，乙只能排第2或第4共2种排法，其他3位同学有种，共有种；（3）当甲排在第4位置时，乙只能排第3或第5共2种排法，其他3位同学有种，共有种；排法种数种.【点睛】分类与分步计数原理，在确定分类标
6、准时，一般是从特殊元素出发，同时应注意元素的顺序问题.8.已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断a,b,c的符号，再比较a,b的大小得解.【详解】由题得，所以cab.故选：C【点睛】本题主要考查指数对数的运算和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.观察下列各式：，据此规律.所得的结果都是的倍数.由此推测可得（ ）A. 其中包含等式：B. 其中包含等式：C. 其中包含等式：D. 其中包含等式：【答案】A【解析】【分析】先求出数列3,7,11,15，的通项，再判断得解.【详解】数列3,7,11,15，的通项为，当n=26时，但是
7、85,53,33都不是数列中的项，故选：A【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为，其展开式中的常数项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】二项展开式二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程.【详解】展开式中各项的二项式系数和为，得，当时，解得：.【点睛】求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为.11.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】原积分式通过运算变为
8、，再由积分的几何意义进行运算求值.【详解】，为奇函数，令，其图象如图所示，则，设曲边梯形ABCD的面积为，则，原式的值为.【点睛】在求积分时，如果原函数不易求时，可考虑用积分的几何意义，把求积分值转化为求面积问题.12.函数，若有8个不相等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】方程有8个不相等的实数根指存在8个不同的值；根据函数的图象，可知方程必存在2个大于1的不等实根.【详解】，函数为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若有8个不相等的实数根关于的二次方程必有两个大于1的不等实根，.【点睛】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；
9、本题就是把所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求的范围.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设随机变量服从正态分布，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】由正态分布的对称性可知与关于对称，从而列方程求解即可.【详解】随机变量，其正态分布曲线关于对称，由于，所以与关于对称.，解得：.【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性及概率的简单计算.14.已知一组数据，的线性回归方程为，则_.【答案】【解析】【分析】样本数据的回方程必经过样本点的中心，该组数据的中心为，代入回归方程，得到关于的方程.【详解】设这组数据的中心为，整理得：.【点睛】本
10、题考查回归直线方程经过样本点中心，考查统计中简单的数据处理能力.15.某中学开设类选修课门，类选修课门，类选修课门，每位同学从中共选门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_种.【答案】【解析】【分析】每位同学共选门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.【详解】（1）当选2门的为A类，（2）当选2门的为B类，（3）当选2门的为C类，选法共有.【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.16.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值
11、范围是_.【答案】【解析】【分析】函数有三个零点方程有3个根方程有3个根函数与函数图象有3个交点，利用导数作出函数 的图象，求出实数的取值范围.【详解】函数有三个零点函数与函数图象有3个交点，（1）当时，函数在单调递增，单调递减，（2）当时，函数的图象如下图所示：.【点睛】本题考查利用函数的零点，求参数的取值范围，考查利用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.（I）求复数；（）设，且，求实数的值.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）设,利用复数相等的概念求
12、出复数z; （）先计算出，再求a的值.【详解】解；（）设，则，解得或（舍去）.（）， ，.【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了名年龄在岁至岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表：年龄调查人数/名了解“一带一路”倡议/名（I）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异（结果精确到）；年龄低于岁的人数年龄不低于岁的人数合计了解不了解合计（）以频率估计概率
13、，若在该地选出名市民（年龄在岁至岁），记名市民中了解“一带一路”倡议的人数为，求随机变量的分布列，数学期望和方差.附：，其中.【答案】（）填表见解析，有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异（）见解析【解析】【分析】（1）由表格读取信息，年龄低于岁的人数共60人，年龄不低于岁的人数，代入公式计算；（2）在总体未知的市民中选取4人，每位市民被选中的概率由频率估计概率算出，所以随机变量服从二项分布.【详解】解：（）根据已知数据得到如下列联表年龄低于岁人数年龄不低于岁的人数合计了解不了解合计故有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异.（）由题意，得市民了解“一带一路”倡议的概
14、率为，.，则的分布列为，.【点睛】本题要注意选取4人是在总体中选，而不是在100人的样本中选，如果看成是在样本中100人选4人，很容易误用超几何分布模型求解.19.每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I）求实数的值；（）在，三组中利用分层抽样抽取人，并从抽取的人中随机选出人，对其消费情况进行进一步分析.（i）求每组恰好各被选出人的概率；（ii）
15、设为选出的人中这一组的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（）（）（）（）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出；（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量的所有可能取值为.【详解】解（）由题意，得，解得.（）按照分层抽样，三组抽取人数分别为，.（）每组恰好各被选出人的概率为.（）的所有可能取值为0，1，2，3.，则的分布列为【点睛】统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.20.函数，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨
16、论方程的实数根的个数.【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（1）直接对函数进行求导，研究函数的单调性，求最大值；（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与轴的交点个数.【详解】（）的导数为.在区间，是增函数；在区间上，是减函数.所以的最大值是.（），方程的实数根个数，等价于函数的零点个数.在区间上，是减函数；在区间上，是增函数.在处取得最小值.当时，没有零点；当时，有唯一的零点；当时，在区间上，是增函数，并且.，所以在区间上有唯一零点；在区间上，是减函数，并且，所以在区间上有唯一零点.综上所述，当时，原方程没有实数根
17、；当时，原方程有唯一的实数根；当时，原方程有两个不等的实数根.【点睛】在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.21.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，.（）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）求点的直角坐标；若直线与曲线交于，两点，求.【答案】（）直线,曲线（）【解析】【分析】（）利用参数方程化普通方程，利用极坐标
18、化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）求出，即得点M的直角坐标；利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】解（），曲线（），.将代入，得，.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22.已知函数.（I）求不等式；（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）利用零点分类讨论法解不等式；（）即在恒成立，即，即，再化为在恒成立解答即可.【详解】解：（）.当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得.综上，不等式的解集为.（）对，恒成立，即在恒成立
19、，即，在恒成立，.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立级坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（）若射线，分别与交于，两点，求；（）若为曲线上任意一点，求到直线的距离的最大值及此时点的直角坐标.【答案】（）（）点到直线距离最大值为，此时点的坐标为【解析】【分析】（）先求出A,B的坐标，再利用余弦定理解答得解；（）先求出曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程，再利用三角函数的性质求到直线的距离的最大值及此时点的直角坐标.【详解】解：（）直线，令，
20、得，令，得，.又，.（）曲线的直角坐标方程，化为参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为，到直线的距离.令，即时到直线的距离最大， .【点睛】本题主要余弦定理解三角形和极坐标下两点间的距离的计算，考查曲线参数方程里函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.24.已知.（I）求的最小值及最大值；（II）设，求的最大值.【答案】（），.（）【解析】【分析】（I）利用绝对值三角不等式求的最小值及最大值；（II）先利用基本不等式求出，再求解.【详解】解：（），.（）（当且仅当时取等号），的最大值为.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
