1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.2.4向量的数量积一、单选题1（2021湖南长沙市明德中学）已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ）A2BCD32（2022浙江绍兴）已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（ ）ABCD3（2021湖南）已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD4（2022广西鹿寨县鹿寨中学（文）已知平面向量，的夹角为45，且，则（ ）A3B1CD25（2022贵州贵阳一中（文）如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（ ）A6B8C10D1
2、26（2021全国）如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）AB2CD17（2022福建宁德）已知向量，夹角为，且，则（ ）A5BC4D38（2021陕西长安一中（理）已知，且，则的值为（ ）ABCD9（2022河北定州）已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ）ABCD10（2021辽宁大连）已知向量，则（ ）A0BCD11（2022辽宁葫芦岛）已知向量，满足，且与的夹角为，则向量等于（ ）ABCD112（2021安徽省怀宁中学（理）已知，若与垂直，则实数m的取值为（ ）A0B1CD2二、多选题13（2022全国）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）ABCD向量，
3、夹角为14（2021江苏泰州）如图，在平行四边形中，已知分别是靠近的四等分点，则下列结论正确的是（ ）ABCD15（2021河北师大附中）对于非零向量，下列命题中错误的是（ ）A若，则B若，则在上的投影向量为（是与方向相同的单位向量）CD16（2021江苏苏州市相城区陆慕高级中学）下列说法正确的有（ ）A若且，则B设是非零向量，若，则C若且，则D设是非零向量，若，则存在实数，使得17（2021江苏海安高级中学）下列命题正确的是（ ）A若，则或B若，则C若与是非零向量，且，则D若，则或18（2021河北张家口市第一中学）下列命题中假命题的是（ ）A向量与向量共线，则存在实数使B，为单位向量，其夹
4、角为，若，则C若，则D已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.三、填空题19（2021广西桂林市国龙外国语学校（文）已知平面向量与的夹角为60，则的值为_.20（2021上海黄浦）若为内一点，则_21（2021河北石家庄）已知等腰三角形的顶角，则_.22（2022广东汕尾）已知非零向量，且，则与的夹角为_23（2021河北衡水中学）已知向量与的夹角为，且，设，则向量在方向上的投影向量的模为_24（2022江西上饶（文）已知平面向量，不共线且两两所成的角相等，则_.四、解答题25（2021全国）已知向量a与b的夹角为120， ，求：(1)；(2).26（2021湖
5、北麻城市第二中学高一阶段练习）已知向量与的夹角，且，（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值27（2021江苏苏州市第三中学校高一阶段练习）已知向量（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的夹角28（2021浙江高一期末）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边分别交于交于点.（1）求的值；（2）若是的中点，求的取值范围；（3）若是平面上一点，且满足，求的最小值.参考答案：1B【解析】【分析】将两边平方并化简，进而结合即可求得答案.【详解】设的夹角为，因为，所以，所以故选：B.2B【解析】【分析】将变为，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得
6、答案.【详解】由，可得，所以，即，所以，设的夹角为，则,故选：B.3B【解析】【分析】把两边平方化简即得解.【详解】解：因为，所以，所以.故选：B.4B【解析】【分析】给两边平方化简可求得答案【详解】因为，所以，因为，平面向量，的夹角为45，所以，化简得，解得或（舍去）.故选：B5D【解析】【分析】根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，根据勾股定理可得，再利用和其夹角的余弦可以表示为进行化简即可得到答案.【详解】根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，设，则，在直角三角形中，即， .故选：D.6C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.【详解】因为，所以，所以，
7、故选：C.7A【解析】【分析】由两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，即可解得的值.【详解】向量，夹角为，且，即 ，解得或（舍去）故选：A.8B【解析】【分析】由垂直的数量积表示得，再把模的运算转化为数量积计算【详解】由已知，所以故选：B9C【解析】【分析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误；对B：因为，故选项B错误；对C：因为，故选项C正确；对D：因为，故选项D错误故选：C.10B【解析】【分析】根据数量积的定义即可求向量的夹角.【详解】，向量夹角的范围是，.故选：B.11D【解析】【分析】由向量的数量积的定义
8、结合条件可得答案.【详解】由条件可得故选：D12B【解析】【分析】由向量垂直的性质得出实数m的取值.【详解】因为与垂直，所以，所以故选：B13AC【解析】【分析】对进行平方运算，可求出，夹角，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入，夹角，可判断BC选项.【详解】解：，又因为，所以，所以，所以A正确，D不正确；，故，所以B不正确，同理C正确.故选：AC14AD【解析】【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为在平行四边形中，已知分别是靠近的四等分点，由，所以A正确；由，所以B不正确；由，所以C不正确；由，所以D正确.故选：AD.15ABD【解
9、析】【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断；【详解】解：对于A：，所以不正确；对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确对于C：，所以正确；对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确；故选：16BD【解析】【分析】A. 举反例说明该命题错误；B.若，所以，则，所以该命题正确；C. 若且，则，所以不一定相等，所以该命题错误；D. 分析得与反向，因此存在实数，使得，所以该命题正确【详解】A. 若也满足已知，但是，所以该命题错误；B.若，所以，则，所以该命题正确；C. 若且，则，所以不一定相等，所
10、以该命题错误；D. 若，则，得，则的夹角的余弦，则与反向，因此存在实数，使得，所以该命题正确故选：BD17AC【解析】【分析】根据平面向量的性质与数量积，结合特殊情况逐个分析即可【详解】对A，若，则或，故A正确；对B，当时，此时不一定成立，故B错误；对C，由可得，故，故，故，故C正确；对D，若，则或，或，故D错误；故选：AC【点睛】本题主要考查了向量有关概念的判定，注意零向量等特殊情况，属于基础题18ACD【解析】【分析】A.根据共线向量定理进行分析判断即可；B.将左右同时平方，由此求解出的取值范围，则范围可求；C.考虑零向量存在的情况；D.根据，同时注意排除两向量同向时的情况.【详解】A.根
11、据共线向量定理可知，此时，故错误；B.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故正确；C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；D.因为向量与的夹角为锐角，所以，所以，即，且与不同向，当向量与共线时，设，所以，所以，显然时，与同向，综上可知，的取值范围是，故错误；故选：ACD.192【解析】【分析】向量模长解决办法第一步“遇模加平方”，第二步利用数量积公式即可得到答案.【详解】因为，所以 故答案为：2.20【解析】【分析】首先设，得到，再根据数量积运算律求解即可.【详解】如图所示：设，则，所以故答案为：21#【解析】【分析】根据数量积的定义可求的值.【详解】因为等
12、腰三角形的顶角，故.故.故答案为：.22【解析】【分析】根据题意结合向量的数量积的运算律求出，即可得解.【详解】非零向量，且，所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.23【解析】【分析】根据向量数量积公式的变形公式代入计算在方向上的投影向量的模长.【详解】在方向上的投影向量的模为故答案为：240【解析】【分析】由向量的数量积的定义和向量的模的计算公式可得答案.【详解】解：由题意三个平面向量，两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是，又同，故答案为：0.25(1)-5(2).【解析】【分析】(1)由数量积的运算律可得所求等于，代入已知即可求.(2)由，由数量积的运算律和数量积公式即可求出.(1
13、)解：.(2)解：.26（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.27（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由数量积的定义计算；（2）把模平方后转化为数量积的运算求解；（3）由数量积的运算律求得，再由数量积定义计算夹角【详解】（1）；（2）由题意，所以；（3），所以，即，所以28（1）；（2）；（3）最小值为.【解析】【分析】(1)把代入中，再由平面向量的数量积公式，即可求解；(2)由题可知点为线段的中点，故根据向量的线性运算有，进而求出向量的模长范围，即可求解；(3)由，进而求出向量的模长范围，即可求得的最小值.【详解】解：(1)由题意可得：；(2) 在正方形中，过中心的直线与两边分别交于交于点.点为线段的中点.又正方形的边长为2，是的中点，.即的取值范围为.(3)由题可得令，由，可知点在上，.从而.的最小值为.
