1、第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算6.2.4 向量的数量积一、教学目标1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2. 掌握向量 与 的数量积公式及其投影的定义；3. 掌握平面向量数量积的性质及运算律；4. 会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题.二、教学重点、难点重点：平面向量的数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角难点：平面向量的数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学
2、过程（一）创设情景，揭示课题【情景1】物理学中，一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功，其中是F与s的夹角.【内涵】功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 【问题】能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果？【启示】能否把“功”看成两个向量的一种运算的结果呢？（二）阅读精要，研讨新知【向量的夹角】已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则（）叫做向量与的夹角.【特殊】当时，与同向；当时，与反向； 当时，与垂直，记作 【向量的数量积】已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积(inner product).记作.即.【规定】零向量与任一向量的数量积为0
3、.【发现】向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.【例题研讨】阅读领悟课本例9、例10 （用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例9 已知，与的夹角，求.解：由已知，例10 设，求与的夹角.解：由已知 因为，所以【向量投影与投影向量】如图6.2-20(1)，设是两个非零向量，过的起点和终点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影(project), 叫做向量在向量上的投影向量.【特殊】如图6.2-20(2)，在平面内任取一点，作，过点作直线的垂线，垂足为，.就是向量在向量上的投影向量.【探究1】如
4、图6.2-20(2)，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系?【发现】显然，与共线，于是.【分类讨论】（1）当为锐角时，与方向相间，所以；（2）当为直角时，所以；（3）当为钝角时，与方向相反，所以，即；（4）当时，所以；（5）当时，所以.【结论】综上，对于任意的，都有.【探究2】两个非零向量与相互平行或垂直时，向量在向量上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性?【发现】向量数量积的如下重要性质：设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则（1）.（2）（3）当与同向时，；当与反向时，特别地，或（4）【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检
5、查，老师答疑.【探究3】类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，能否得到数量积的运算律？【发现】对于向量和实数，有（1）（2）（3）【阅读研讨】课后小组阅读讨论课本证明【课后思考】对于向量，一定成立吗？【例题研讨】阅读领悟课本例11、例12、例13（用时约为6分钟，教师作出准确的评析.）例11 我们知道，对任意，恒有对任意向量，是否也有下面类似的结论?（1）（2）解：（1）（2）因此，上述结论是成立的.例12已知，与的夹角为，求解：例13已知，且与不共线，当为何值时，向量与互相垂直?解：由已知，即，即 所以。所以所以，当时，向量与互相垂直.【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检
6、查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1已知向量满足，则（ ）A4 B3 C2 D0解：，故选B2. 已知向量的夹角为，则 解：方法一：因为，所以答案：方法二：利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为 3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ()A. B. C. D. 解：，所以，所以故选B4. 设为单位向量，且，则_解：因为为单位向量，所以所以，解得：所以，所以答案：5. 已知正方形的边长为2，为的中点，则_解：由题意知：因为, ，所以答案：26. 已知 ，且 ，则向量在向量方向上的投影向量为_解：因为，又 所以，即向量在向量方向上的投影向量为答案：7. 已知是互
7、相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 解：由已知，又，所以，解得 答案：8. 已知向量满足 ，则向量在向量方向上的投影向量为()A B C D解：设为向量与向量的夹角，则向量在向量方向上的投影向量为，又，所以所以，故选A.（四）归纳小结，回顾重点，则（）叫做向量与的夹角.当时，与同向当时，与同向当时，与垂直，记作 非零向量与的夹角为，叫做与的数量积，作垂线， 叫做向量在向量上的投影向量.与方向相同的单位向量为，与的夹角为，过点作的垂线就是向量在向量上的投影向量.设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则和（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本习题6.2 10、11、12、18、19、20、23、242. 预习课本 6.3 平面向量基本定理即坐标表示五、教学反思：（课后补充，教学相长）
