1、第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理6.1.3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用一、教学目标1、正确理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2、灵活掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 二、教学重点、难点重点：掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理难点：灵活利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理一般地，完成一件事有类
2、不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.一般地，完成一件事有个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分类加法计数原理针对的是“分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事.分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事.【问题】计数问题是我们经常遇到的，如何利用两个计数原理快速有效解决有关问题呢？（二）阅读精要，研讨新知【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8（用时约为
3、3分钟，教师作出准确的评析.）例7计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据，一般地，一个程序模块由许多子模块组成.图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径?另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗?解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为子模块4、子模块5中的子路径条数共为.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为7 371在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，
4、即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为显然，178与7371的差距是非常大的.【思考】你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗?例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的
5、发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为100 000（2）当有1
6、个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法;第25步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为240 000同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为24000+240000+240000+240 000+240000=1200000（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，
7、第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌张数为576 000同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为57600010=576000.综合(1)(2)(3)，根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+57600
8、00=7060000【归纳】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么； （2）需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步聚，恰好完成任务.分步后再计算每步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279解：由
9、共能组成 (个)三位数，其中无重复数字的三位数有 (个)，所以有重复数字的三位数有 (个)故选B2. 某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32解：若将7个车位从左向右按17进行编号,则该3辆车有4种不同的停放方法:（1）停放在13号车位， （2）停放在57号车位，（3）停放在1,2,7号车位， （4）停放在1,6,7号车位.每一种停放方法均有6种,故共有24种不同的停放方法. 故选C.3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( )A. 18对 B. 24对 C. 30对
10、D. 36对解：分类讨论（1）与 异面的有5条，所以与底面棱对应的有对（2）与异面的有4条，所以与侧棱对应的有对（3）与异面的有5条，所以与侧面对角线对应的有对 以上每条直线都数两遍，所以共有，故选D4. 从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种 B240种 C144种 D96种解：先从甲乙之外的4人中任选1人去巴黎，有4种，再从余下的5人中选1人去伦敦，有5种，再从余下的4人中选1人去悉尼，有4种，最后从余下的3人中选1人去莫斯科，有3种. 所以不同的选择方案
11、共有种，故选B5. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共10000个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A. 2 000 B. 4 096 C. 5 904 D. 8 320解：如1390855，后四位数字从09这10个数字中选取，有10 000 这四个数字中既不含4，也不含7，有种情况 所以优惠卡的个数为5 904，故选C6. 甲、乙、丙、丁四人做传球练习，第一次由甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的任一人，一共传球4次，则第4次球仍然回到甲手中的方法共有（ ）A21种
12、 B24种 C27种 D42种解：符合要求的情况：分四步传球，第三步不能在甲手中，第四步必须传给甲.第一次，甲传出，有3种情况，第二次，若回传给甲，有1种情况，第三次传给乙丙丁，有3种情况，第四次传给甲，有1种情况，第二次，若不回传给甲，有2种情况，第三次传给乙丙丁中的2人，有2种情况，第四次传给甲，有1种情况，所以第4次球仍然回到甲手中的方法共有种，故选A7. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种（以数字作答）解：方法一：（以位置为主考虑）第一步涂，有4种方法，第二步涂，有3种方法，第三步涂，有2种方法，
13、第四步涂时分两类：第一类用余下的颜色，有1种方法，第五步涂，有1种方法；第二类与区域同色，有1种方法，第五步涂，有2种方法，所以共有 种.方法二：（以颜色为主考虑）分两类：第一类取4色：将或视为一个位置计四个位置，着色方法有种；第二类取3色：将 ， 看成两个元素，着色方法有种所以共有着色方法种答案：72（四）归纳小结，回顾重点两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理一般地，完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.一般地，完成一件事有个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分类加法计数原理针对的是“分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事.分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事.（五）作业布置，精炼双基1.完成课本习题6.1 9、10、11、122.预习6.2 排列与组合3.阅读子集的个数有多少五、教学反思：（课后补充，教学相长）
