1、6.3 平面向量线性运算的应用第六章 平面向量初步 学习目标 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：1.向量在平面几何中的应用.2.向量在物理中的应用.难点：向量在几何中的灵活运用.知识梳理（1）证明线段平行问题，常用向量平行（共线）的等价条件：ab（b0）x1 y2-x2 y10.（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：ab x1x2+y1 y20.（3）求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|.一、向量在平面几何中的应用ab=0 ab 2+2 向量在物理中的应用，
2、实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象.如：位移、力、速度、加速度等.二、向量在物理中的应用如果两个力F1，F2的合力为零，则F1+F20，也就是说，这两个力互为相反向量.如果三个力F1，F2，F3的合力为零，则F1+F2+F30，也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量.例1 一 向量在平面几何中的应用利用向量证明常考题型 在ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且 13 ，13 ，AD与BE交于R，证明：17.【解题提示】根据A，D，R三点共线，可得 23 +（1-）.根据B，E，R三点共线，可得 +13（1-），所以 2
3、3 =,1 =13 1 ,由此解得，的值，进而证明 17.【证明】由A，D，R三点共线，可得 +（1-）23 +（1-）.由B，E，R三点共线，可得 +（1-）+13（1-）.23 =,1 =13 1 ,=67,=47,47 +17 ，-23 -.故 -23 -(47 +17)221 -17 17(23 )17.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）巧转化：建立几何元素与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）找关系：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）要还原：把运算结果“翻译”成几何关系，即把向量问题还原为几何问题.已知ABC，AD为中
4、线，求证：AD212（AB2+AC2）-22.【证明】以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图，设A（a，b），B（0，0），C（c，0），(2,0)，则|22 2+（0-b）224-ac+a2+b2，12（|2+|2）-2212a2+b2+（c-a）2+b2-24 a2+b2-ac+24，从而|212（|2+|2）-22，即AD212（AB2+AC2）-22.【解题提示】根据题意画出图形，利用向量共线定理求出|，判断ABC是等腰三角形.例2 利用向量判断几何图形的形状2019云南玉溪一中高二月考已知ABC满足 -（其中k是常数），则ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.钝
5、角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】ABC中，-（其中k是非零常数），如图所示.-（），+，(1 +)(1 +)，又 ，不共线，1 +k+1 0，|，ABC是等腰三角形.故选C.【答案】C用向量判断几何图形形状的步骤（1）由已知条件建立向量的线性关系、向量的模、向量共线等之间的关系；（2）转化为几何图形中的边或角之间的关系判断.2019湖南醴陵高一联考若O是ABC所在平面内一点，且满足|-|+-2|，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形B1.如图，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD各边的中点，若|+|+|，则四边形EFGH必是（）A.正方
6、形B.梯形C.菱形D.矩形2.C向量共线总结（1）ab，b0 R，ab.（2）11+1+.（3）若+，则A，B，C三点共线m+n1.（4）A，B，C三点共线 R，.例3 向量在三角形中的应用已知点O是ABC内部一点，并且满足2+3+50，OAC的面积为S1，ABC的面积为S2，则12（）A.310B.38C.25D.421【解析】2+3+50，2（+）-3（+）.设AC的中点为M，BC的中点为N，则23，MN为ABC的中位线，且 32，SOAC2SOMC235SCMN65(14)310SABC，即12310.故选A.【答案】AP是ABC所在平面上的一点，满足+2，若SABC6，则PAB的面积为
7、（）A.2B.3C.4D.8A1.已知O为正三角形ABC内一点，且满足+（1+）0，若OAB的面积与OAC面积的比值为3，则的值为（）A.12B.1C.2D.32.A二 向量在物理中的应用例4 2019江苏宿迁高一期末已知河水自西向东流，流速为|v0|1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|3 m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角和|v2|；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|3 m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和|v1|.【解题提示】用平面向量的方法求解，由向量的分解作出平行四边形，结合每一问的条件即可求解
8、.【解】设 v0，v1，v2，则由题意知v2v0+v1，|1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.（1）由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|AC 3，如图所示，则在RtOAC中，|v2|OC 2+2 2，tan AOC31 3.又0AOC90，所以60.（2）由题意知AOCOCB90，且|v2|3，BC|1，如图所示，则在RtOBC中，|v1|OB 2+2 2，tan BOC1333.又0BOC90，所以BOC30，则90+30120.答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角为60，|v2|为2 m/s；（2）他游泳的方向与水流方向的夹角为120，|v1|为2
9、 m/s.利用向量法解决物理问题的步骤（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或坐标运算求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.已知作用于原点的两个力F1（3，4），F2（2，-5），现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F .(-5,1)小结 用向量方法解决平面几何问题“三步曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、平行等；把运算结果“翻译”成几何问题的答案.用向量求解平面几何问题的两种方法向量几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.向量坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、平行等问题转化为代数问题.利用向量法解决物理问题的步骤（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或坐标运算求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
