1、2020-2021学年广东省云浮市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1复数在复平面内对应的点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）2已知随机变量XB（n，p），若D（X）3，E（X）4，则n，p分别为（）An8，pBn8，pCn16，pDn16，p3函数f（x）xlnx的图象在xe处的切线方程为（）A2xye0Bx2y+e0C2x+y3e0Dx+2y3e04若XN（5，），且P（5X6）0.3，则P（X4）（）A0.2B0.3C0.4D0.65三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）A729B18C216D816（2+）（1x）10展开式
2、中的常数项为（）A12B8C8D127一边长为18的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时，x（）A2B3C4D68设0a1随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列求导正确的是（）A若f（x），则f（x）lnxB若f（x）3ex，则f（x）3exC若f（x）x2+log2x，则f（x）2xD若f（x）sinx+c
3、os，则f（x）cosxsin10已知（x）n展开式中各项的二项式系数和是64，则（）An6B展开式中所有项的系数和为1C展开式中常数项为160D展开式中含x2项为60x211已知双曲线W：1（）Am（2，1）B若W的顶点坐标为（0，），则m3CW的焦点坐标为（1，0）D若m0，则W的渐近线方程为xy012已知函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）在上的最大值为1Cf（x）在0，上为减函数Df（x）在（0，）上有且仅有1个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的橫线上13计算（43i）（54i） 14直线l：xy10被圆C：x2+y22x4y0截得的弦AB的长为
4、 15从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8，中任取两个数，一共可组成 个没有重复数字的五位数16某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）2x3+3x212x（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在0，3上的最值18已知抛物线C：x22py（p0）的焦点到准线的距离为1（1）求p的值及抛物线C的焦点F的坐标；（2）求抛物线C在x1处的切线方程19从某大学中
5、随机选取8名女大学生，其身高x和体重y数据如表所示 编号12345678身高/cm164166160170175164156173体重/kg4957525365614459求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm的女大学生的体重（结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算）参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，20习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，
6、某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），12，14（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康
7、生活方式者”人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在10，12）内的教职工奖励一件T恤，价值50元；步数在12，14内的教职工奖励一件T恤和一条运动裤，价值100元试判断10000元的预算是否足够21已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点（2，0），离心率e，O为坐标原点，过F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）求C的标准方程；（2）记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值（3）y轴上是否存在点
8、P，使得ABP为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由22已知函数f（x）2ex（ex2a）+4ax+a2（1）讨论f（x）极值点的个数；（2）若到x1，x2是f（x）的两个极值点，且f（x1）+f（x2）t（x1+x2）恒成立，求实数t的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1复数在复平面内对应的点的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】直接化简已知的复数，从而得到其在复平面内对应点的坐标得答案解：+i，复数在复平面内对应的点的坐标为（，），故选：B2已知随机变量XB（n，p），若D（X）3，E（X）4，则n，p分别为（）An8，pBn8，
9、pCn16，pDn16，p【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解解：随机变量XB（n，p），D（X）3，E（X）4，D（X）np（1p）3，E（X）np4，n16，p故选：D3函数f（x）xlnx的图象在xe处的切线方程为（）A2xye0Bx2y+e0C2x+y3e0Dx+2y3e0【分析】求出原函数的导函数，得到函数在xe处的导数，再求出f（e）的值，利用直线方程的点斜式得答案解：由f（x）xlnx，得f（x）lnx+1，则f（e）lne+12，又f（e）elnee，函数f（x）xlnx的图象在xe处的切线方程为ye2（xe），即2xye0故选：A4若XN（5，），且P
10、（5X6）0.3，则P（X4）（）A0.2B0.3C0.4D0.6【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解解：XN（5，），且P（5X6）0.3，P（4X5）0.3，P（4X6）0.3+0.30.6，故选：A5三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）A729B18C216D81【分析】每个班级都有6种选法，由分步乘法计数原理求解解：每个班级都有6种选法，由分步乘法计数原理，得不同选法的种数是666216故选：C6（2+）（1x）10展开式中的常数项为（）A12B8C8D12【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出：（2+）（1x）10展开式中的常数项解：（2+
11、）（1x）10展开式中的常数项为2+（x）2108，故选：C7一边长为18的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒当方盒的容积最大时，x（）A2B3C4D6【分析】求出关于容积V（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数取最大值时x的值即可解：由题意得：无盖方盒的底面是边长为182x的 正方形，高为x，则无盖方盒的容积V（x）（182x）2x4x372x2+324x（0x9），V（x）12x2144x+32412（x3）（x9），当x（0，3）时，V（x）0，当x（3，9）时，V（x）0，故x3时，方盒的容积最大，故选：B8设0a1随机变量X
12、的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果解：E（X）0+a+1，D（X）（）2+（a）2+（1）2（a+1）2+（2a1）2+（a2）2（a2a+1）（a）2+0a1，D（X）先减小后增大故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列求导正确的是（）A若f（x），则f（x）lnxB若f（x）3ex，则f（x）3exC若f（x）x2+log2x，则f（x）2xD若f（
13、x）sinx+cos，则f（x）cosxsin【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可解：，A错误；（3ex）3ex，B正确；，C正确；，D错误故选：BC10已知（x）n展开式中各项的二项式系数和是64，则（）An6B展开式中所有项的系数和为1C展开式中常数项为160D展开式中含x2项为60x2【分析】由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，注意判断各个选项是否正确，从而得出结论解：（x）n展开式中各项的二项式系数和是 2n64，n6，故A正确；令x1，可得展开式中所有项的系数和为（12）61，故B错误；在通项公式Tr+1（2）rx62r 中，令62r0，求得r3，可得展
14、开式中常数项为（8）160，故C正确；在通项公式Tr+1（2）rx62r 中，令62r2，求得r2，可得展开式中含x2项为4x260x2，故D错误，故选：AC11已知双曲线W：1（）Am（2，1）B若W的顶点坐标为（0，），则m3CW的焦点坐标为（1，0）D若m0，则W的渐近线方程为xy0【分析】根据双曲线的方程，分析顶点，焦点，渐近线方程解：因为方程1表示双曲线，所以（2+m）（1+m）0，解得m1或m2，故A错误；若W的顶点坐标为（0，），则m1（）2，解得m3，故B正确；当m1时，c2（2+m）+（m+1）2m+3，当m2时，c2（2+m）（m+1）2m3，故C不正确；若m0，则W的标准
15、方程为y21，渐近线方程为xy0，故D正确故选：BD12已知函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）在上的最大值为1Cf（x）在0，上为减函数Df（x）在（0，）上有且仅有1个零点【分析】对于A：计算得f（1）f（1），则f（x）不是偶函数，即可判断A是否正确；对于B：求导得，设g（x）（sinx+cosx）ex+xsinx+cosx，则g（x）（x2ex）cosx，可得g（x）的单调性，计算极值，端点处的函数值，即可判断B是否正确；对于C：函数f（x）在0，上先减后增，即可判断C是否正确；对于D：又f（0）1，再结合单调性，即可判断D是否正确解：对于A：因为，所以f（1）f（1），所以f（x
16、）不是偶函数，故A错误；对于B：，设g（x）（sinx+cosx）ex+xsinx+cosx，则g（x）（x2ex）cosx，因为，所以x2ex0，当时，cosx0，当时，cosx0，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，因为，g（0）0，g（）e10，所以函数f（x）在上单调递增，最大值为f（0）1，故B正确；对于C：函数f（x）在0，上先减后增，故C错误；对于D：又f（0）1，所以f（x）在（0，）上为有且仅有1个零点，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的橫线上13计算（43i）（54i）32i【分析】利用复数的运算法则即可得出解：原式20
17、12+15i16i32i，故答案为：32i14直线l：xy10被圆C：x2+y22x4y0截得的弦AB的长为 2【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解解：将圆x2+y22x4y0的方程化成标准式方程（x1）2+（y2）25，圆心坐标为（1，2），半径r，圆心到直线l的距离d，故答案为：15从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8，中任取两个数，一共可组成7200个没有重复数字的五位数【分析】先选后排，根据分步计数原理即可求出解：从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8，中任取两个数，共有C53C42A557200个没有重复数字的五位数，故答案为
18、：720016某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为 【分析】设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，则P（A），P（B），P（C），再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解解：设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，则P（A），P（B），P（C），这个部件能正常工作的概率为P1P（）P（）P（A）故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或
19、演算步骤17已知函数f（x）2x3+3x212x（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在0，3上的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可解：（1）f（x）2x3+3x212x，f（x）6x2+6x126（x+2）（x1），令f（x）0，解得：x1或x2，令f（x）0，解得：2x1，故f（x）在（，2）递增，在（2，1）递减，在（1，+）递增；（2）由（1）f（x）在0，1）递减，在（1，3递增，而f（0）0，f（1）7，f（3）45，故f（x）在0，3上的最小值是7，最大值是4518已知抛物线C：
20、x22py（p0）的焦点到准线的距离为1（1）求p的值及抛物线C的焦点F的坐标；（2）求抛物线C在x1处的切线方程【分析】（1）利用抛物线的标准方程可得，焦点到准线的距离为p，从而得到抛物线C的标准方程；（2）利用导数的几何意义求切线方程解：（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为p，由题意可知，p1，则抛物线C的方程x22y，抛物线C的焦点F的坐标（0，）（2）由抛物线C的方程x22y，可得yx，所以抛物线C在x1处的切线斜率为k1，因为切点为（1，），抛物线C在x1处的切线方程为y1（x1），即2x2y1019从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x和体重y数据如表所示 编号12345678身
21、高/cm164166160170175164156173体重/kg4957525365614459求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm的女大学生的体重（结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算）参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的公式，可得，再将x174代入该方程中，即可求解解：166，55，0.82，女大学生的身高预报体重的回归方程为，对于身高为174cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为（kg）20习近平总书记在党的十九
22、大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），12，14（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图（1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点
23、值代替）；（2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在10，12）内的教职工奖励一件T恤，价值50元；步数在12，14内的教职工奖励一件T恤和一条运动裤，价值100元试判断10000元的预算是否足够【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解（2）由直方图可知，50名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有6人，X的所有可能的值
24、为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解（3）分别计算出10，12），12，14内的教职工人数，并结合各自奖励的金额，即可求解解：（1）由频率分布直方图可得，50名教职工日行步数的样本平均数为10.023+30.042+50.082+70.222+90.082+110.052+130.0126.96（2）由直方图可知，50名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有6人，X的所有可能的值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），故X的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）（3）用样本估计总体，可知全校教职工中任取1人
25、为“超健康生活方式者”的概率为0.12，“超健康生活方式者”共有0.121000120人，其中步数在10，12）内的教职工有0.0521000100人，步数在12，14内的教职工有0.012100020人，10050+20100700010000，10000的预算足够21已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点（2，0），离心率e，O为坐标原点，过F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）求C的标准方程；（2）记直线OM的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：k1k2为定值（3）y轴上是否存在点P，使得ABP为等边三角形？若存在，求
26、出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由椭圆C过点（2，0），离心率e，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案（2）由于+1，+1，两式相减，利用点差法可得，由M为AB的中点，得到k1，即可得出k1k2为定值（3）设直线l的方程为yk（x1），联立椭圆的方程，求出x1+x2，x1x2，y1+y2，由弦长公式可得|AB|，|MP|，进而得到M点坐标，由ABP为等边三角形，得|MP|AB|，解方程，即可得出答案解：设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）因为a2，e，所以c1，所以b，所以椭圆C的标准方程为+1（2）证明：因为+1，+1，所以+0，即，因为M为AB的中点，所以k1，所
27、以k1k2（3）设直线l的方程为yk（x1），联立，得（3+4k2）x28k2x+4k2120，所以x1+x2，x1x2，所以y1+y2k（x1+x2）2k，所以M点的坐标为（，），因为ABP为等边三角形，所以|MP|AB|，所以|AB|x1x2|，|MP|0|，所以，即23k2+270，无解，所以不存在这样的点P22已知函数f（x）2ex（ex2a）+4ax+a2（1）讨论f（x）极值点的个数；（2）若到x1，x2是f（x）的两个极值点，且f（x1）+f（x2）t（x1+x2）恒成立，求实数t的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，求出极值点的个数即可；
28、（2）求出f（x1）+f（x2）的解析式，问题等价于4a+4alnatlna，得到t4a，令h（a）4a（a4），求出函数的导数，根据函数的单调性求出t的范围即可解：（1）f（x）2ex（ex2a）+2e2x+4a4（e2xaex+a），令g（x）x2ax+a（x0），当a0时，a24a0且g（0）a0，故g（x）0有1个正根，故f（x）有1个极值点，当即0a4时，g（x）0恒成立，故f（x）没有极值点，当a4时，a24a0且g（0）a0，故g（x）0有2个不相等的正根，故f（x）有2个极值点，综上，当a0时，f（x）有1个极值点，当0a4时，f（x）没有极值点，当a4时，f（x）有2个极值点；（2）由（1）知当f（x）有2个极值点时，a4且x1，x2是方程e2xaex+a0的两根，故+a，则x1+x2lna，f（x1）+f（x2）2（2a）+4ax1+a2+2（2a）+4ax2+a22（+）4a（+）+4a（x1+x2）+2a2244a（+）+4a（x1+x2）+2a22a24a4a2+4alna+2a24a+4alna，f（x1）+f（x2）t（x1+x2），等价于4a+4alnatlna，lna0，t4a，令h（a）4a（a4），h（a）0，h（a）在（4，+）上单调递增，h（a）h（4）16，t16，即t（，16
