1、习题课 数列的综合应用课后篇巩固探究1.设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn取最小值时,n 等于()A.6B.7C.8D.9答案:A2.各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n等于()A.80B.30C.26D.16解析:设 S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知 2(14-a)=(a-2)2,解得 a=6 或 a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以 b=S4n=30.答案:B3.(2017 全国 3 高考)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6
2、成等比数列,则an前 6 项的和为()A.-24B.-3C.3D.8解析:设等差数列的公差为 d,则 d0,=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以S6=61+(-2)=-24,故选 A.答案:A4.设数列2n-1按第 n 组有 n 个数(n 是正整数)的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),则第 101 组中的第一个数为()A.24 951B.24 950C.25 051D.25 050解析:前 100 组共有 1+2+3+100=5050 个数,则第 101 组中的第一个数为数列2n-1的第 5051 项,该数为 25050.答案:D5.已
3、知函数 f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对任意的正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y),若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN+),则 an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.()-解析:由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)(nN+),Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减得 2an=3an-1(n2),又 n=1 时,S1+2=3a1=a1+2,a1=1,数列an是首项为 1,公比为 的等比数列,an=()-.答案:D6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生
4、产.已知该生产线连续生产 n 年的产量为 f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A.5 年B.6 年C.7 年D.8 年解析:由题意可知第一年的产量为 a1=123=3;以后各年的产量分别为 an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)=3n2.令 3n2150,1n5.又 nN+,1n7,即生产期限最长为 7 年.答案:C7.已知两个数列an,bn满足 bn=3nan,且数列bn的前 n 项和为 Sn=3n-2,则数列an的通项公式为 .解析:由
5、题意可知 3a1+32a2+3nan=3n-2.当 n=1 时,a1=;当 n2 时,3a1+32a2+3n-1an-1=3(n-1)-2,-,得 3nan=3,an=-,此时,令 n=1,有 a1=1,与 a1=相矛盾.故 an=,-,答案:an=,-,8.已知正项等比数列an中,a1=3,a3=243,若数列bn满足 bn=log3an,则数列 的前 n 项和Sn=.解析:设数列an的公比为 q(q0),因为 a3=a1q2,解得 q=9,所以 an=a1qn-1=39n-1=32n-1.所以 bn=log3an=log332n-1=2n-1,所以 (-)()=(-),所以数列 的前 n
6、项和 Sn=+=(-)=(-).答案:9.定义运算:|=ad-bc,若数列an满足|=1,且|=12(nN+),则 a3=,数列an的通项公式为 an=.解析:由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12,即 a1=2,an+1-an=4.an是以 2 为首项,4 为公差的等差数列.an=2+4(n-1)=4n-2,a3=43-2=10.答案:10 4n-210.导学号 33194028 若数列an满足 =d(nN+,d 为常数),则称数列an为调和数列,已知数列 为调和数列,且 x1+x2+x20=200,则 x5+x16=.解析:由题意知,若an为调和数列,则 为等差数列,由 为调和数
7、列,可得数列xn为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=x10+x11=20.答案:2011.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,nN+,a3=5,S10=100.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=+2n,求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设等差数列an的公差为 d,由题意,得 ,解得 ,所以 an=2n-1.(2)因为 bn=+2n=4n+2n,所以 Tn=b1+b2+bn=(4+42+4n)+2(1+2+n)=-+n2+n=4n+n2+n-.12.导学号 33194029(2017 山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a
8、2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 Sn.已知 S2n+1=bnbn+1,求数列 的前 n 项和 Tn.解(1)设an的公比为 q,由题意知:a1(1+q)=6,q=a1q2,又 an0,解得:a1=2,q=2,所以 an=2n.(2)由题意知:S2n+1=()()=(2n+1)bn+1,又 S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以 bn=2n+1.令 cn=,则 cn=,因此 Tn=c1+c2+cn=+-.又 Tn=+-,两式相减得 Tn=(-),所以 Tn=5-.13.导学号 33194030 已知数列an满足 an=2a
9、n-1+2n-1(nN+,n2),且 a4=81.(1)求数列an的前三项.(2)是否存在一个实数,使得数列 为等差数列?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.(3)求数列an的前 n 项和 Sn.解(1)由 an=2an-1+2n-1(nN+,n2)得,a4=2a3+24-1=81,a3=33;同理可得,a2=13,a1=5.(2)假设存在实数,使得数列 为等差数列,-=1-.则 1-为常数,=0,=-1.即存在实数=-1,使得数列 为等差数列.(3)由(2)可知,等差数列 -的公差 d=1,则 -+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n+1.Sn=22+322+423+(n+1)2n+n.记 Tn=22+322+423+(n+1)2n,有 2Tn=222+323+n2n+(n+1)2n+1,两式错位相减得,Tn=n2n+1.Sn=n2n+1+n=n(2n+1+1).
