1、5.4 正余弦定理（精讲）一正弦定理、余弦定理在 ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为 ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A bsin B csin C2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形边化角：a2Rsin Ab2RsinB c2RsinC角化边：sin A a2Rsin B b2R，sin C c2R；abcsinAsinBsinCcos Ab2c2a22bc；cos Bc2a2b22ac；abcsin Asin Bsin C asin Acos Ca2b2c22ab二三角形常用面
2、积公式1.S12aha(ha 表示边 a 上的高)2.S12absin C12acsin_B12bcsin_A3.S12r(abc)(r 为三角形内切圆半径)三三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解四三角形中的射影定理在 ABC 中，ab cos Cc cos B；ba cos Cc cos A；cb cos Aa cos B五盘点易错易混1利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去 2R2.三角形中的大角对大边：在 ABC 中，ABabsin Asin B3判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解
3、 一正、余弦定理的选用 1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的 二求解三角形面积问题 1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积 2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键 三选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化
4、边”；2.若式子中含有a、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一 常见的边角互换模型【例 1-1】（2023 春湖南）在 ABC 中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，且满足22()bcabc，若3a，则 ABC 外接圆的半径长为（）A3 B1 C 2 D 12 【答案】B【解析】由22()bcabc 可得222bcabc，再由余弦定理可得：2221cos222b
5、cabcAbcbc，故3A，因为3a，所以322,sin32aRA则1R .故选：B.【例 1-2】（2023全国统考高考真题）在 ABC 中，内角,A B C 的对边分别是,a b c，若 coscosaBbAc，且5C，则B（）A10 B 5 C 310 D 25 【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得sincossincossinABBAC，即sincossincossinsincossincosABBAABABBA，整理可得sincos0BA，由于0,B，故sin0B，据此可得cos0,2AA，则32510BA C.故选：C.【例 1-3】（2022安徽马鞍山一模）已知 ABC 的内
6、角,A B C 的对边分别为,a b c，设22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC，2sin2sin0AB，则sinC （）A 12 B32 C624 D6+24【答案】C【解析】在 ABC 中，由22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC及正弦定理得：22()(22)bcabc，即2222bcabc，由余弦定理得：2222cos22bcaAbc，而0180A，解得135A，由2sin2sin0AB得21sinsin22BA，显然090B，则30B，15C，所以62sinsin(6045)sin60 cos45cos60 sin 454C.故选：C【例 1-4】
7、（2022重庆）在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，记 ABC 外接圆半径为 R，且222sinsin(2)sinRABacC，则角 B 的大小为_【答案】4 【解析】由正弦定理：2sinsinsinabcRABC故2 sin,2 sinRAaRBb 即222sinsin(2)sinsinsin(2)sinRABacCaA bBacC 22222(2)2abac cacbac故2222cos22acbBac，又(0,)B故4B故答案为：4 【一隅三反】1（2023 春广东茂名高三统考阶段练习）在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若223 2abbc
8、，sin2 2sinCB，则 A（）A 56 B 34 C 23 D 712 【答案】B【解析】sin2 2sinCB，由正弦定理得2 2cb，因为223 2abbc，所以由余弦定理得22223 23 22cos22222bcacbccAbcbcb，因为0,A，所以34A.故选：B 2（2023河南洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cos3cosbAaB，2a，则 c（）A4 B6 C2 2 D2 3 【答案】D【解析】因为cos3cosbAaB，根据正弦定理得sincos3sinsincosBAAAB，移项得sincossincos3
9、sinAAABA，即sin3sinABA，即sin3sinCA，则根据正弦定理有32 3ca故选：D.3（2023 春福建南平）（多选）在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 coscos2BbCac，3 34ABCS，且3b，则（）A1cos2B B3cos2B C3ac D2 3ac【答案】AD【解析】coscos2BbCac，由正弦定理可得 cossincos2sinsinBBCAC，整理可得sincos2sincossincosBCABCB，所以sincossincossin()sin2sincosBCCBBCAAB，A为三角形内角，sin0A，1cos2B，(
10、0,)B，3B，故 A 正确，B 错误；3 34ABCS，3b，3 31133sin42224acBa cac ，解得3ac，由余弦定理2222cosbacacB，得22223()3()9acacacacac，解得2 3ac或2 3ac（舍去），故 D 正确，C 错误.故选：AD.4（2023四川）设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3tantan0coscABaB，则 A=（）A 6 B 4 C 3 D 23 【答案】D【解析】由题意知，3tantancoscABaB ，3sinsincoscoscoscABaBAB，3cossincossincoscAABBAa
11、，3cossinsincAABCa ，由正弦定理，得3sincossinsinCACA，又sin0C，所以3cos1sinAA ，即 tan3A ，由0A，得23A.故选：D 考法二 三角形的周长与面积【例 2-1】（2023广东）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2a，3sin2A，4coscosacbAC，则 ABC 的面积为_.【答案】3 【解析】因为4coscosacbAC，所以由正弦定理可得 sinsin4sincoscosACBAC 所以sinsincoscossinsin4sincoscoscoscoscoscosACACACBBACACAC
12、，因为sin0B 所以1coscos4AC 因为3sin2A，则1cos2A，则1cos2C，所以 ABC 为等边三角形，故 ABC 的面积2334Sa 故答案为：3 【例2-2】（2023山东青岛统考三模）记 ABC 的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知2 sin2tancBacC(1)求角 B；(2)若 c3a，D 为 AC 中点，13BD，求 ABC 的周长【答案】(1)3B；(2)82 7【解析】（1）2 sin2tancBacC，所以sin2sinsin(2sinsin)cosCCBACC，sin0C，则 2sincos2sinsin2sin()sinBCACBCC2(si
13、ncoscossin)sinBCBCC，整理得 2sincossinCBC，又sin0C，1cos2B，而(0,)B，3B；（2）3ca，由余弦定理得2222222cos923cos73bacacBaaaaa，7ba，D是 AC 中点，则72ADCDa，在ABD中由余弦定理得，22713 94cos72132aaADBa，在CBD中由余弦定理得，227134cos72132aaCDBa，CDBADB，coscos0CDBDB，22227713 9134407721321322aaaaaa，解得2a，所以 ABC 的周长为7382 7abcaaa 【一隅三反】1（2023重庆统考模拟预测）我国南
14、宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 ABC 的三个内角,A B C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为222222142acbSa c，若2 sin2sinaCA，226acb，则用“三斜求积”公式求得 ABC 的面积为（）A32 B3 C 12 D1【答案】A【解析】由2 sin2sinaCA得22,2a caac，由226acb得222622acbac，故22222221123442422acbSa c，A 2（2023陕西西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中3ta
15、n24C，C 为钝角，且cos2cosbABa.(1)求角 B 的大小；(2)若 ABC 的面积为 6，求 ABC 的周长.【答案】(1)4B(2)2 22 56【解析】（1）依题意，有cos2cosbAaB，由正弦定理，得sincos2sincosBAAB，则 tan2tanBA.22tan3tan 21 tan4CCC，23tan8tan30CC，C 为钝角，tan3C （1tan3C 舍去），2tantan3tantantan tan31 tantantan2ABBCABABABB ，即2tantan20BB，因为 C 为钝角，所以 B 为锐角，所以 tan1B （tan2B 舍去），即
16、4B.（2）22sintan3,sincos1cosCCCCC ，3 10sin10C，10cos10C ；ABC，ABC，sinsin sinsincoscossinABCBCBCBC 21023 1052102105.由正弦定理，得 sinsinacAC，sinsincAaC，5102533 10acc ABC 的面积21122sin622326cSacBc c，解得6c ，2 2a，由正弦定理，得 sinsinbcBC，sin21062 5sin23 10cBbC，ABC 的周长为2 22 56.3（2023湖北武汉统考三模）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且113
17、2AC ABAB BCBC CA.(1)求角 A；(2)若2b，求 ABC 的面积.【答案】(1)34A(2)2【解析】（1）在 ABC 中有1132AC ABAB BCBC CA.即11coscoscos32bcAacBabC .因为1coscos3bcAacB，由正弦定理可得1sincossincos3BAAB，即 tan3tanAB.同理11coscos32acBabC，由正弦定理可得11sincossincos32CBBC，即3tantan2CB.在 ABC 中有tantantantan tantantan1BCABCBCBC .解得 tan1A ，1tan3B，1tan2C.由0A，
18、得：34A.（2）ABC 面积1sin2SbcA，代入34A，2b，整理得：22Sc.由（1）知1tan3B，1tan2C，即10sin10B，5sin5C.ABC 中，由正弦定理可得 sinsinbcBC，即2 2c.所以22 222S.考法三 三角形的中线与角平分线【例 3-1】（2023湖北）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知31 cossinbBaA.(1)求 B.(2)若2a，1c ，_，求 BD.在D 为 AC 的中点，BD 为ABC 的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)23(2)答案见
19、解析【解析】（1）由正弦定理得，3sinsinsinsincosBAAAB.因为sin0A，所以 3sin1 cosBB，所以 3sincos2sin16BBB，即1sin62B.又0,B，则566B，所以23B.（2）选择条件：因为2BABCBD，所以222124BDBABA BCBC，221112 1 2()242 34，32BD.选择条件：因为 BD 为ABC 的角平分线，所以ABDCBDABCSSS，则 111sin60sin60sin120222c BDa BDa c ，1111sin602sin602 1 sin120222BDBD 解得23BD.【例 3-2】（2023河南洛阳洛
20、宁县第一高级中学校考模拟预测）已知,a b c 为 ABC 的内角,A B C 所对的边，向量(sinsin,sinsin)mCBBA,(,)ncb a，且mn(1)求C；(2)若2a，ABC 的面积为2 3，且2ADDB，求线段CD的长【答案】(1)3C(2)4 33CD 【解析】（1）因为mn，所以(sinsin)()(sinsin)0CB cbBA a 由正弦定理，得()()()0cb cbba a，即222abcab，由余弦定理，得2221cos22abcCab，因为0C，所以3C.（2）113sin22 3222ABCSabCb!，解得4b，因为2ADDB，则1233CDCACB，所
21、以21412148|16422 4993329CD ，4 33CD.【一隅三反】1（2023全国统考高考真题）在 ABC 中，2AB，60,6BACBC，D 为 BC 上一点，AD 为BAC的平分线，则 AD _【答案】2 【解析】如图所示：记,ABc ACb BCa，方法一：由余弦定理可得，2222 2cos606bb ，因为0b，解得：13b ，由ABCABDACDSSS可得，1112sin602sin30sin30222bADAD b ，解得：2 3 13323312bADb故答案为：2 方法二：由余弦定理可得，2222 2cos606bb ，因为0b，解得：13b ，由正弦定理可得，6
22、2sin60sinsinbBC，解得：62sin4B，2sin2C，因为1362，所以45C，180604575B，又30BADo，所以75ADB，即2ADAB 故答案为：2 2（2023山东泰安统考模拟预测）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且2cossincos06CBA.(1)求角 C 的大小；(2)若ACB的平分线交 AB 于点 D，且2CD ，2BDAD，求 ABC 的面积.【答案】(1)23C(2)9 32【解析】（1）由已知可得312cossincoscos+022CBBB C，3sincoscoscoscoscossinsin0BCBCBCBC,整理得，
23、sin3cossin0BCC，因为0,B，所以sin0B，所以 3cossin0CC，即 tan3C ，因为0,C，所以23C.（2）由题意得，12ACADBCBD,即12ba，所以2ab.法一：在 ABC 中，22222212cos42 272cababACBbbb bb ，所以7cb.在 ACD中，3cAD，所以2222cosADACCDAC CDACD，即222122292cbb，将7cb代入整理得29180bb，解得3b 或6b.若6b，则12a，6 7c，4 7BD,2 7AD，所以在BCD中，得2222224 7212cos0216 7BDCDBCCDBBD CD,同理可得cos0
24、ADC,即BDC和ADC都为钝角，不符合题意，排除.所以3b，6a，19 3sin12022ABCSab!.法二：因为ACDBCDABCSSS，所以 1112 sin60+2 sin60sin120222baab，所以12baab.因为2ab，所以3,6ba，所以19 3sin12022ABCSab!.3.（2023 春河南洛阳高三新安县第一高级中学校考开学考试）设 ABC 的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且 2 sincoscoscosbAacCAC(1)求角 A 的大小；(2)若 sin2sin3BC，BC 边上的中线17AM，求 ABC 的面积【答案】(1)4A(2)6【
25、解析】（1）由题意利用正弦定理可得 2sinsinsinsincoscoscosABACCAC sinsin2sincossincossin()sinBAACCAACB,(0,)A B，sin0B，即sin 21,4AA（2）sin22,sin33BbcbCc Q 由中线117,()2AMAMABACuuuruuuruuur，得22222(1122cos4)44AMABAB ACACcbcbuuuruuuruuur uuuruuur222122()17439ccc，16,2 2,sin62ABCcbSbcA V 考法四 三角形中的取值范围【例 4-1】（2023江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预
26、测）在锐角 ABC 中，内角,A B C 的对边分别为a，b，c，且1b ，coscosA aBa，则（）A 64A B 63A C 43A D 42A【答案】A【解析】因为1b ，coscosA aBa，所以 coscosbAaBa，所以由正弦定理得sincossincossinBAABA，即sinsinBAA，因为02A，02B，所以22BA，所以 BAA，即2BA，因为020202ABC ，即02022022AAAA ，解得 64A.故选：A.【例 4-2】（2023江西上饶统考二模）在 ABC 中，,26ABC，则3ACAB的最小值（）A-4 B3 C2 D2 3 【答案】A【解析】在
27、 ABC 中，4sinsinsinACABBCBCA，所以4sinACB，4sinABC，所以534 sin3sin4 sin3sin6ACABBCCC 554 sincoscossin3sin66CCC 134cossin3sin22CCC 134cossin22CC 4cos3C，因为50,6C，所以 7,336C，所以1cos1,32C ，4cos4,23C，则3ACAB的最小值为 4.故选：A【例 4-3】（2023辽宁辽宁实验中学校考模拟预测）在 ABC 中，若sin2coscosABC，则22coscosBC的最大值为_【答案】212 【解析】首先证明：在 ABC 中，有222co
28、scoscos2coscoscos1ABCABC,在 ABC 中，由余弦定理得2222cos0abcabC，由正弦定理得222sinsinsin2sinsincos0ABCABC，令222coscoscos2coscoscosABCABCM，上述两式相加得222cossin2 coscossinsincosMCCABABC 222cossin2cos()cosCCABC 222222cossin2cos2cossin1CCCCC 所以222coscos1 cos2coscoscosBCAABC 1+cos2111sincos(sin2cos2)222AAAAA =1221sin 22242A,
29、当sin 214A 即5 8A 时取等.故答案为：212.【例 4-4】（2023安徽滁州安徽省定远中学校考一模）已知在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，面积为S，且_ 在23SAB AC，22cos1 cos22BCA；3 sincoscaCcA这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题(1)求 A；(2)若3bc，点 D是 BC 边的中点，求线段 AD长的取值范围【答案】(1)3A(2)3342,【解析】（1）若选，因为23SAB AC，所以12sin3cos2 bcAbcA，可得sintan3cosAAA，又因为0A，所以3A 若选，因为2
30、2cos1 cos22BCA，所以2222cos2sin1 cos22cos22AAAA ，整理可得22coscos10AA，解得1cos2A 或 1，又因为0A，可得cos1,1A，所以1cos2A,所以3A 若选，因为3 sincoscaCcA，所以由正弦定理可得sin3sinsinsincosCACCA，又因为C 为三角形内角，sin0C，所以13sincos2sin6AAA，可得1sin62A，又因为0A，5666A，所以66A，可得3A （2）因为3bc，所以03b，因为 D是 BC 的中点，所以12ADABAC，平方得222242ADABACABACAB AC，所以2222242c
31、os 3ADcbbccbbc223333bcbcbbbb23924b 因为03b，所以32b 时，2944AD，可得34AD，所以29434AD，可得 3342AD，故线段 AD长的取值范田为 3342,.【一隅三反】1（2023陕西宝鸡统考二模）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且4c，3A，则 a的取值范围为（）A0,4 3 B2,4 3 C2 3,4 3 D0,2 3 【答案】C【解析】因为 ABC 是锐角三角形，所以2AC，6C，所以 62C，1sin(,1)2C，由正弦定理得 sinsinacAC，所以4sinsin2 33(2 3,4 3)sinsinsi
32、ncAaCCC故选：C 2（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，3B，B的平分线交 AC 于 D，若3BD，则2ac的最小值为_.【答案】3 2 2/2 23 【解析】因为3B，B的平分线交 AC 于 D，且3BD，由ABCABDCBDSSS，即 111sinsinsin232626acc BDa BD，整理可得3322acca，所以，111caacac，因此，11222233232 2cac aacacacacac，当且仅当 2acaccaac时，即当21212ac 时，等号成立，因此，2ac的最小值为3 2 2.故答案为：3 2
33、 2.3（2023福建南平统考模拟预测）已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sin1cossincocossin2s2CCBCCB(1)求 A 的大小；(2)设 AD 是 BC 边上的高，且2AD，求 ABC 面积的最小值【答案】(1)4A；(2)4 24.【解析】（1）在 ABC 中，由sin1cossincocossin2s2CCBCCB及二倍角公式，得 sinsincoscossincosBCCBCC，即sinsinsincoscossincoscosBCBCBCBC，整理得sin()cos()0BCBC，因此 tan()1BC ，即 tan1A ，而0A，所以
34、4A.（2）由（1）及已知，得112sin224ABCSabc，即有24abc，由余弦定理得2222cos 4abcbc，即2222abcbc，因此2222128b cbcbc，即22221228b cbcbcbc，于是8(22)bc，当且仅当bc时取等号，而24ABCSbc，所以 ABC 面积的最小值为28(22)4 244.4（2023全国高三专题练习）已知锐角 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角 C 的大小；(2)若7c，求 ABC 的周长的取值范围.【答案】(1)3(2)217,3 7 【解析】（1）由正弦定理得
35、：sinsinsinabcABC，代入2 coscoscoscCbAaB，2sincossincossincossinCCBAABAB，又ABC，2sincossinCCC，而 0Ca，所以60C ，所以角C 只有一个解，即 ABC 只有唯一解.故选：C【一隅三反】1（2023 春重庆）ABC 中，,a b c 是角,A B C 的对边，2 3,2,30bcC，则此三角形有（）A一个解 B2 个解 C无解 D解的个数不确定【答案】B【解析】ABC 中，2 3,2,30bcC，根据正弦定理 sinsinbcBC，得12 3sin32sin22bCBc，B 为三角形的内角，bc，则有60B 或12
36、0B，三角形的解有两个故选：B 2（2023贵州统考模拟预测）ABC 中，角,A B C 的对边分别是,a b c，60A，3a.若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（）A 32b B 32b C12 3b D12b【答案】B【解析】由正弦定理 sinsinabAB可得，sin3sin2sinsin32aBBbBA.要使 ABC 有两解，即 B 有两解，则应有 AB，且sin1B ，所以3sinsin12AB，所以 32b.故选：B 3（2023北京朝阳高三专题练习）在下列关于 ABC 的四个条件中选择一个，能够使角 A 被唯一确定的是：（）1sin2A 1cos3A ；1cos,34Bba
37、；45,2,3Cbc.A B C D【答案】B【解析】对于1sin2A，因为(0,)A，所以6A 或 56，故错误；对于1cos3A ，因为cosyx在(0,)上单调，所以角 A 被唯一确定，故正确；对于1cos,34Bba，因为1cos04B ，(0,)B，所以(,)2B，所以(0,)2A，所以215sin1-cos4BB，又3ba，由正弦定理有 sin3sinBA，所以sin15sin=312BA，所以角 A 被唯一确定，故正确；对于45,2,3Cbc，因为sin2 sin24bC ，所以 sinbCcb，所以如图，ABC 不唯一，故错误.故 A，C，D 错误.故选：B.考法六 正余弦定理
38、在几何中应用【例 6-1】（2023河南开封校考模拟预测）如图，在 ABC 中，8 2,6ACC，点 D在边 BC 上，1cos3ADB (1)求 AD的长；(2)若ABD的面积为8 2，求 AB 的长【答案】(1)6(2)6【解析】（1）1cos3ADB，1cos3ADC，且0ADC，212 2sin133ADC 根据正弦定理 sinsinADACCADC，可得18 2sin26sin2 23ACCADADC；（2）2 2sinsin sin3ADBADCADC，112 2sin62 2223ABDSAD BDADBBDBD，2 28 2BD，得4BD，又1cos3ADB，由余弦定理得222
39、1642 6 4363AB ，6AB【例 6-2】（2023北京大兴校考三模）如图，平面四边形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 E，ABDCBD，ACAD，3AEEB，5DE.(1)求 ADB 的面积；(2)求sinBAC的值及 EC 的长度.【答案】(1)485(2)5sin5BAC，1511EC【解析】（1）ACAD，3AE ，=5DE 22=4ADDEAE，3sin5ADE，11348=sin4 82255ABDSDADBADB ;（2）AEEB，+AEDEABEBA，4sin5AED，则233cos155AED.2AEDBAC，23cos12sin=5AEDBAC，0,2B
40、AC 5sin5BAC，22 5cos1-sin=5BACBAC，又=CBDABDBAC，在 BCE 中，+CBEBECBCE sinsinBCECBEBEC 532 5411 5sincoscossin555525CBEBECCBEBEC 由正弦定理可知，sinsinECBECBEBCE53sin155sin1111 525BECBEECBCE.【一隅三反】1（2023广西统考模拟预测）如图，在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，过点 A 作 AD AB，交线段 BC 于点 D，且 ADDC，3a ，sinsinsinsinbCaA bBcC.(1)求BAC；(2)求 A
41、BC 的面积.【答案】(1)23(2)3 34【解析】（1）sinsinsinsinbCaA bBcC，由正弦定理得222bcabc，即222bcabc，由余弦定理，2221cos222bcabcBACbcbc，又0,BAC，23BAC.（2）AD AB，2BAD，由第（1）问，23BAC，2326DAC，又 ADDC，6CDAC，在 ABC 中，由正弦定理，sinsinacBACC，13sin23sin32aCcBAC，又2366BC，3bc，ABC 的面积1123 3sin33 sin2234ABCSbcBAC.2（2023上海徐汇统考三模）如图，ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a
42、、b、c.(1)若33 cosacbC，求角 B 的余弦值大小；(2)已知3b、3B，若 D为 ABC 外接圆劣弧 AC 上一点，求ADC周长的最大值.【答案】(1)13；(2)32 3.【解析】（1）在 ABC 中，由33 cosacbC及正弦定理，得3sinsin3sincosACBC，即3sin()sin3sincosBCCBC，则3(sincossincos)sin3sincosBCCBCBC，整理得sin(3cos1)0CB，而sin0C，即1cos3B （2）在ADC中，2,33ADCAC，由余弦定理得22222cos 3ACADDCAD DC，于是22()()994ADDCADD
43、CAD DC，解得2 3ADDC，当且仅当3ADDC时取等号，所以当3ADDC时，ADC周长取得最大值32 3.3（2023广东惠州统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质如图所示，四边形 ABCD的顶点在同一平面上，已知2,2 3ABBCCDAD (1)当 BD长度变化时，3coscosAC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由(2)记ABD与BCD的面积分别为1S 和2S，请求出2212SS的最大值【答案】(1)3coscosAC为定值，定值为 1(2)14【解析】（1）法一：在ABD中，由余弦定理222cos2ADABBDAAD AB，得222(2 3
44、)2cos2 2 32BDA，即2163cos8BDA，同理，在BCD中，22222cos2 2 2BDC，即28cos8BDC，得 3coscos1AC，所以当 BD长度变化时，3coscosAC为定值，定值为 1；法二：在ABD中，由余弦定理2222cosBDADABAD ABA 得222(2 3)22 2 3 2 cosBDA ，即216 8 3cosBDA，同理，在BCD中，2222cos8 8cosBDCDCBCD CBCC，所以16 8 3cos8 8cosAC，化简得 3cos1cosAC，即 3coscos1AC，所以当 BD长度变化时，3coscosAC为定值，定值为 1；（2）222222221211sinsin44SSABADABCCDC 222212sin4sin12sin44cosACAC 2212sin44(3cos1)AA 224cos8 3cos12AA，令cos,1,1At t，所以223248 31224146yttt ，所以36t，即3cos6A 时，2212SS有最大值为 14
