1、第三节函数的单调性与最值基础梳理1.定义：在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2 A，当x1x2时，都有_ _，那么就说f(x)在_上是增加的(减少的)注意：(1)函数的单调性是在_内的某个区间上的性质，是函数的_性质；(2)必须是对于区间A内的_两个自变量x1，x2，即当x1x2时，总有f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)局部定义域任意 区间A 2.如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为_或_，统称单调函数增函数减函数3.复合函数的单调性对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且ug(x)在区间
2、(a，b)上和yf(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数yf(g(x)在区间(a，b)上具有_，并且具有这样的规律：“_”，见表.yf(u)增函数 减函数 ug(x)增函数 减函数 增函数 减函数 yf(g(x)单调性同增异减增函数 增函数减函数减函数增函数减函数基础达标1.(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.yx1 B.yC.yx24x5 D.yx2x解析：结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意B 2.(教材改编题)f(x)4x2mx5在2，)为增函数，f(1)的取值范围是()A.(，25 B.(25，)C.25，)D.(，25)解析：由题意
3、知对称轴 2，即m16，所以f(1)9m25.8mC 3.若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增bxB 解析：由题意可知a0，b0，yax2bx的对称轴方程：x0，又a0，yax2bx在(0，)上为减函数2ba4.函数f(x)在2,3上的最小值为_，最大值为_11x 1,12解析：f(x)在(1，)上为减函数，f(x)在2,3上单调递减，f(x)minf(3)，f(x)maxf(2)1.125.函数的单调递减区间是_12log3yx解析：令u|x3|，则在(，3)上u为x的减函数，在(3，)上u为x的增函数又0 1，
4、在定义域内为减函数，在区间(3，)上y为x的减函数1212logyu(3，)经典例题【例1】判断并证明函数f(x)，x1，)的单调性题型一 函数单调性的判断与证明1x解：函数f(x)=在-1，+)上为增函数，证明如下：任取x1、x2-1，+)且-1x1x2，f(x1)-f(x2)=1x11x 21x121212111111xxxxxx 12121212111111xxxxxxxx -1x1x2，x1-x20，1210,10 xx 1212011xxxx 即f(x1)-f(x2)0，f(x1)0)在x(1,1)上的单调性变式11 21axx 方法一(定义法)：设1x1x21，则f(x1)f(x2
5、)=-1x1x20，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0，f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数12221211axaxxx221212 122212(1)(1)ax xaxax xaxxx21122212()(1)(1)(1)a xxx xxx方法二(导数法)：a0，x2+10，(x2-1)20，f(x)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数222(1)()(1)a xfxx题型二 求函数的单调区间【例2】求函数f(x)x 的单调区间 1x分析：利用定义法或导数法解：方法一：首先确定定义域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)两个区间上分别讨任取
6、x1，x2(0，+)且x1x2，则f(x2)-f(x1)=要确定此式的正负只要确定1-的正负即可12212112121=(x-x)+=(x-x)1xxx xx x121x x212111x-xxx这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0,1)与(1，+)(1)当x1、x2(0,1)时，1-0，f(x2)-f(x1)0，f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数；同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，f(x)为减函数；(4)当x1、x2(-，-1)时，f(x)为增函数121x x121x x121x x方法二：f(x)=，令f(x)0，得x21
7、，即x1或x-1，令f(x)0，得x21，即-1x0，x2-2x3，x0，-(x+1)2+4，x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.题型三 单调性的应用解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函数，3m2
8、-m-22，解得-1m，则其解集为.434(1,)3 已知偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，解不等式flog2(x25x4)0.变式31 f(2)=0，原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)又f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(-，0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0.不等式可化为log2(x2+5x+4)2，或log2(x2+5x+4)-2，由得x2+5x+44，x-5或x0，解析：.由得0 x2+5x+4x-4或-1x ，由、得原不等式的解集为145102 5102 510510541022x xxxx 或或或【例4】已知函数f(
9、x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值题型四 函数的最值23解：(1)证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，又x0时，f(x)0，而x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在-3,3上也是减函数，f(x)在-3,3上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)，而f(3)=3f(1)=-
10、2，由题意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0，f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数f(-3)=-f(3)=2.f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.易错警示【例】求函数的单调区间，并指出每一个单调区间上的单调性错解 设ux24x3，则在区间2，)上为减函数，在区间(，2上为增函数212log(43)yxx212log(43)yxx错解分析：由于忽略了对数函数的定义域，而求错函数的单调区间。正解：由不等式x2-4x+30，得函数的定义域为(-，1)(3，+)设u=x2-4x+3，则 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，故
11、由二次函数的性质知：当x2时，u=x2-4x+3为增函数；当x2时，u=x2-4x+3为减函数 因为函数定义域为(-，1)(3，+)且 为减函数，在(-，1)上为增函数，在(3，+)上为减函数 12logyu12logyu212log(43)yxx链接高考(2010天津)设函数f(x)x21，对任意x，恒成立，则实数m的取值范围是_3,)2 2()4()(1)4()xfm f xf xf mm 知识准备：1.不等式恒成立问题转化为求函数的最值；2.形如yaf(x)2bf(x)c的类型求最值，换元后利用二次函数求最值33(,)(,)22 依据题意，14m2(x21)(x1)214(m21)在 x上恒成立，即在x上恒成立，令，22xm3,)2 2221324m+1mxx 2232114g(x)=-=1=-3.33xxx32,0,23xx解析：3,)2 当 x 时，函数取得最小值，即(3m21)(4m23)0，解得m 或m .232g(x)=-=1xx32532215-4m3m 3232
