1、 第1页（共5页）苏大附中 20212022 学年第二学期期中检测 高二年级 数学试卷（考试时间：120 分钟 总分 150 分）命题人：徐 开 第 I 卷（选择题 共 60 分）一单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若61010 xCC=，则 x 的值为 A4 B6 C4 或 6 D8 2函数()(31)exf xx=的导函数为 A()(31)exfxx=B()(32)exfxx=C()(31)exfxx=+D()(32)exfxx=+3若离散型随机变量 X 的分布列如表所示 X 0 1 P 41a 23aa+则实
2、数 a 的值为 A2a=或13a=B2a=C13a=D2a=或13a=4一个袋子中有 2 个红球和 3 个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取 2 个球，每次只取 1 个设事件 A=“第一次抽到红球”，B=“第二次抽到红球”，则概率(|)P B A 是A 25 B 14 C 15 D 12 5已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 25 15 25 则 X 的数学期望()E X=A 85 B 95 C2 D125 第2页（共5页）6正态分布2()xN+是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数22()2
3、1()e2xf x=在2x=处取得最大值为12，则(0)P x=（附：()0.6827Px+=，(22)0.9545Px+=）A0.6827 B0.84135 C0.97725 D0.9545 7“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“52+”模式，即学校每周周一至周五这 5 天要面向所有学生提供课后服务，每天 2 个小时某校计划按照“52+”模式开展“学业辅导”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于 2 小时，不高于 6 小时，那么不同的安排方案的种数为 A60 B90 C150 D210 8过点(0,1)P有三条直线和曲线32()y
4、xaxbx b=+R 相切，则实数 a 的取值范围是 A(1,)+B(3,)+C(,1)D(,3)二多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9下列说法正确的为 A6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有222642C C C 种不同的分法 B6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有123653C C C 种不同的分法 C6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 10 种不同的分法 D6 本不同的书分给甲、乙、丙
5、三人，每人至少一本，有 540 种不同的分法 10在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正品），次品 1 件，现从中任取 2 件，则下列说法正确的是 A两件都是一等品的概率是 16 B两件中有 1 件是次品的概率是 12 C两件都是正品的概率是 13 D两件中至少有 1 件是一等品的概率是 56 11在1(2)nxx的展开式中，各项系数与二项式系数之和为 65，则下列结论正确的是()A6n=B各项系数的绝对值之和为 729 C系数最大项为3240 x D有理项有 3 项 第3页（共5页）12已知 0 xy ，且 e sine sinyxxy=，其中e为自然对数的
6、底数，则下列选项中一定成立的是 Asinsinxy B sinsinxy C coscos0 xy+Dcoscos0 xy+第 II 卷(非选择题 共 90 分)三填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知函数1()2f xaxx=，(0 x，1若()f x 在(0 x，1上是增函数，则 a 的取值范围为 14若(21)nx 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则n=（写出一个即可）15已知一种植物一年生长的高度 y 与发芽期的平均温度 x 的关系可以用模型21ec xyc=（其中e为自然对数的底数）拟合，设lnzy=，其变换后得到一组数据：x 20 23 25 27
7、 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由表可得线性回归方程为 0.2zxa=+，则当35x=时，估计该植物一年生长的高度 y 的值为 16关于 x 的不等式2(1)e0 xxa x恰有一个整数解，则实数 a 的取值范围是 四解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知函数3()32f xxax=+，曲线()yf x=在1x=处的切线方程为30 xym+=（1）求实数 a，m 的值；（2）求()f x 在区间1，2上的最值 18(本小题满分 12 分)甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五
8、场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得 1 分，失败的一方不得分已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为 13（每场单打比赛不考虑平局的情况）（1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队 1 分的概率；（2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 第4页（共5页）19(本小题满分 12 分)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 ABCD（如图所示，其中O 为圆心，C，D 在半圆上），设BOC=，木梁的体积为V（单位：3m)，表面积为 S（单位：2m)（1）求V 关于 的
9、函数表达式；（2）求 的值，使体积V 最大 20(本小题满分 12 分)如图，李先生家住 H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L、2L 两条路线，1L路线上有1A、2A、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 12；2L 路线上有1B、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 34，35 （1）若走1L 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；（2）若走2L 路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 第5页（共5页）21(本小题满分 12 分)某化工厂为预测产品的回收率
10、 y，需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系，现收集了 4组对照数据 x 2 4 6 8 y 3 6 7 10（1）请根据相关系数 r 的大小判断回收率 y 与 x 之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa=+，并预测当10 x=时回收率 y 的值 参考数据：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy=，1221niiiniix ynx ybxnx=，aybx=|r 1 0 0.8 0.3 其他 x，y 相关关系 完全相关 不相关 高度相关 低度相关 中度相关 22(本
11、小题满分 12 分)已知函数()ecosexf xxx=+，()fx是()f x 的导函数（1）证明：函数()f x 只有一个极值点；（2）若关于 x 的方程()()f xt t=R 在(0,)上有两个不相等的实数根1x，2x，证明：12()02xxf+第1页（共4页）苏大附中 20212022 学年第二学期期中检测 高二年级 数学试卷 评分标准 一、选择题：1C 2D 3C 4B5C6B7C8B二、选择题：9ACD 10ABD11ABC12AC三、填空题：131,2+147（或 8 或 9）155e16e,02三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12、.17.解：（1）2()33fxxa=，曲线2()32f xxax=+在1x=处的切线方程为30 xym+=，.2 分 3333 1(33)0aam=+=，解得2a=，0m=.5 分（2）由（）知3()62f xxx=+2()36fxx=，令()0f x=，得2x=()f x在1，2 上单调递减，在(2，2单调递增.7 分 又 f（1）3=，(2)24 2f=f（2）81222=+=，()f x在区间1，2上的最大值为 2，最小值为 24 2.10 分 18 解：（1）设五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队为事件 A，.1 分 则33251240()()()33243P AC=；.4 分（2）由题
13、意可知 X 的取值为 0，1，2，3，4，5，5232(0)()3243P X=，1451280(1)()()33243P XC=，22351280(2)()()33243P XC=，第2页（共4页）33251240(3)()()33243P XC=，4451210(4)()33243P XC=，55511(5)()3243P XC=，.11 分（每个 1 分）随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P 32243 80243 80243 40243 10243 1243 所以328080401015()0123452432432432432432433E X=+=.12 分 1
14、9.解：（1）木梁的侧面积10(2)SABBCCD=+10(24sin2cos)20(cos2sin1)22=+=+，(0,)2，.2 分 梯形 ABCD 的面积2cos2sinsincossin2ABCDS+=+，(0,)2，体积()10(sincossin)V=+，(0,)2；.4.分（2）2()10(2coscos1)10(2cos1)(cos1)V=+=+.6 分 令()0V=，得1cos2=，或cos1=（舍)(0，)2，3=.8 分 当(0,)3 时，1cos12，()0V，()V 是增函数；当(,)3 2 时，0cos，()0V，()V 是减函数.10 分 当3=时，体积V 最大
15、.12 分 20解：（1）设“走1L 路线最多遇到 1 次红灯”为事件 A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况.1 分 则0312331111()()()2222P ACC=+=，所以走1L 路线，最多遇到 1 次红灯的概率为 12.4 分（2）依题意，X 的可能取值为 0，1，2 第3页（共4页）331(0)(1)(1)4510P X=，33339(1)(1)(1)454520P X=+=，339(2)4520P X=.7 分 随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 P 110 920 920 所以1992701210202020EX=+=.8 分（3）设选择1L 路线遇到红灯次数为
16、Y，随机变量Y 服从二项分布1(3,)2YB，所以13322EY=.10 分 因为 EXEY，所以选择2L 路线上班最好.12 分 21解：（1）5,6.5xy=，.1 分 12211()()220.980.8500()()niiinniiiixxyyrxxyy=，所以 x 与 y 高度线性相关.5 分（2）根据最小二乘法1221221.1,120niiiniix ynx ybaxnx=，.8 分 所以回归方程为 1.11yx=+，.10 分 当10 x=时，1.1 10112y=+=.12 分 22证明：（1）因为()cosxf xexex=+，所以()sinxfxexe=，.1 分 要证(
17、)f x 只有一个极值点，即证()fx在零点两边异号，且这种零点唯一，令()()g xfx=，所以()cosxg xex=，第4页（共4页）当0 x时，()0g x，故()g x 单调递增，.2 分 当0 x 时，()sin(1)1(1)0 xxg xexe eeee=+=，.3 分 又(0)10ge=，2(2)0gee=，.5 分 所以()g x 仅有一个零点，且零点的两端函数值异号，又()()g xfx=，所以()f x 仅有一个极值点.6 分（2）证明：要证12()02xxf+，即证120()()2xxffx+，其中0()0fx=，又由（1）知，()fx在(0,)+上单调递增，所以只需证
18、明1202xxx+，又因为(0,)x，不妨设120 xx，又()f x 在0(0,)x上单调递减，在0(x，)上单调递增，即证102()(2)f xfxx，即2102()()(2)f xf xfxx=，即证202()(2)f xfxx，即证202()(2)0f xfxx，.8 分 构造函数02000()()(2)coscos(2)(2)xxxF xf xfxxexexexxexx=+002200000coscos(2)222sinsin()22xxxxxxeeexxxexexexxxexexe=+=+所以0200()sincos()2xxxeF xexx xxee=+，.10 分 又0(xx，)，000()2sin2xF xexe=，又02000()sincos()()0 xxxeF xexxxF xe=+=，所以()F x 在0(x，)上单调递增，又因为0000()()(2)0F xf xfxx=，所以0()()F xF x，即0()(2)0f xfxx，所以000()(2)f xfxx，即1022xxx，所以1202xxx+，即得证.12 分声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：20 22/4/27 20:17:4 2；用户：开心；邮箱：137 7181 3737；学号：3245 3919
