1、 5.4 函数的奇偶性课程标准学习目标（1）通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.（2）通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.（3）通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.（1）结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.（2）能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.（3）掌握函数奇偶性的简单应用.（4）了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.知识点01 函数的奇偶性概念1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数奇函数：若对于定义域内的
2、任意一个，都有，那么称为奇函数知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？-具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数3、用定义判断函数奇偶
3、性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数【即学即练1】（2023全国高一专题练习）判断下列函数是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)知识点02 判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与
4、之一是否相等（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达
5、式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较【即学即练2】（2023陕西汉中高一校联考期中）函数的图像（）A关于坐标原点对称B关于直线对称C关于轴对称D关于直线对称知识点03 关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（2）奇偶函数的图象特征函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记，则（6）运算函数
6、的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇【即学即练3】（2023全国高一专题练习）若是奇函数，则（）A，B，C，D，题型一：函数的奇偶性的判断与证明例1（2023全国高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).例2（2023全国高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).例3（2023全国高一课堂例题）判断下列函数的奇偶性：(
7、1)；(2)；(3)题型二：已知函数的奇偶性求表达式例4（2023全国高一专题练习）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（）ABCD例5（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则在上的解析式为 .例6（2023全国高一专题练习）已知函数为奇函数，且当时，则当时， 变式1（2023新疆塔城高一乌苏市第一中学校考开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则当时， .变式2（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则的解析式为 .变式3（2023全国高一课堂例题）为上的奇函数，当时，则 变式4（2023河南南阳高一校联考阶段练习）已知是R上的奇函数，当
8、，则的解析式为 题型三：已知函数的奇偶性求值例7（2023山东枣庄高一山东省滕州市第五中学校考期末）已知是奇函数，当时，则 .例8（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 例9（2023全国高一专题练习）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，则 变式5（2023全国高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，则 变式6（2023全国高一课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 题型四：已知函数的奇偶性求参数例10（2023全国高一专题练习）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（）AB3C或3D不能确定例11（2023福建泉州高一校考期中）若是偶函数，则（）A2B1C1D3例12（20
9、23全国高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（）A1BC0D2变式7（2023全国高一专题练习）已知函数是偶函数，则（）A1B2C3D4变式8（2023全国高一专题练习）已知是奇函数，则（）ABC0D1变式9（2023江西南昌高一统考期中）若函数为奇函数，则实数（）A0BC1D题型五：已知奇函数+M例13（2023全国高一专题练习）已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，则 .例14（2023全国高一专题练习）已知，其中为常数，若，则 例15（2023浙江宁波高一慈溪市杨贤江中学校考阶段练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 变式10（2023河南郑州高一郑州四中校考阶段练习）
10、已知函数，则= .变式11（2023上海普陀高一校考期末）函数，其中是常数，且，则 变式12（2023广东东莞高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）已知函数，若，则 .题型六：抽象函数的奇偶性问题例16（2023全国高一专题练习）定义在上的函数满足(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明.例17（2023全国高一专题练习）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有(1)证明是奇函数；(2)解不等式例18（2023河南郑州高一校考阶段练习）已知函数的定义域均为R，对任意x，y恒有，且(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明变式13（2023安徽合肥高一校考期中）已知满足 ，且时， (1)判断的
11、单调性并证明；(2)证明：；(3)若，解不等式变式14（2023陕西渭南高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的函数，若对于任意的x，y，都有(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性并证明结论.变式15（2023陕西西安高一交大附中校考期中）定义在R上的连续函数满足对任意 ，.(1)证明：；(2)请判断的奇偶性；(3)若对于任意 ，不等式恒成立，求出m的最大值.题型七：奇偶性与单调性的综合运用例19（2023全国高一专题练习）已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则不等式的解集是 例20（2023福建高一校考期中）若定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则满足的x的取值范围为 例21（
12、2023福建福州高一校考期中）已知是定义在R上的偶函数，若，且时，都有，则满足的实数m的取值范围为 .变式16（2023四川泸州高一四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是 .变式17（2023全国高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 .变式18（2023全国高一课堂例题）已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为 变式19（2023全国高一课堂例题）已知函数为上的奇函数，当时，则不等式的解集为 变式20（2023河南南阳高一校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，且(1)用定义法判断函数在区间上的单调
13、性并证明；(2)解不等式变式21（2023湖北武汉高一武汉二中校考阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式并判断在上的单调性（不必证明）;(2)解不等式.变式22（2023湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习）已知定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式;(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;(3)解不等式.题型八：利用函数奇偶性识别图像例22（2023云南昆明高一昆明一中统考期末）函数的图像可能是（）ABCD例23（2023江苏南京高一南京市中华中学校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来
14、研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在2，2上的图像大致是（）ABCD例24（2023江苏徐州高一徐州市第七中学校考阶段练习）下列图像中，不可能是的图像的是（）ABCD变式23（2023河南南阳高一校联考期中）函数的图像大致为（）ABCD变式24（2023上海徐汇高一统考期中）函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)g(x)的图像可能是（）ABCD变式25（2023高一单元测试）函数的图像大致是（）ABCD题型九：对称性与奇偶性的综合应用例25（2023北京东城高一统考期中）已知偶函数的其图像与轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为（）A
15、BCD例26（2023宁夏银川高一银川唐徕回民中学校考期末）已知函数满足，若函数与图象的交点为，则所有交点的横坐标之和为（）A0BmCD例27（2023四川眉山高一校考期末）已知函数关于成中心对称，函数的图像与的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于（）ABC10110D5050变式26（2023河南洛阳高一校联考阶段练习）已知函数满足，若与的图像有交点，则（）AB0C3D6变式27（2023四川南充高一统考期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.(1)若.求此函数图象
16、的对称中心；求的值；(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）.变式28（2023云南红河高一校考阶段练习）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数依据推广结论，已知关于中心对称；(1)求的解析式；(2)求的值变式29（2023江苏高一专题练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据
17、推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）变式30（2023浙江台州高一校联考期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为 .变式31（2023全国高一专题练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，可
18、以求出函数的对称中心是 .一、单选题1（2023全国高一专题练习）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD2（2023安徽阜阳高一阜阳市第三中学校考阶段练习）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，的大小关系是（）ABCD3（2023全国高一专题练习）已知函数为R上的奇函数，当时，则当时，的解析式为（）ABCD以上都不对4（2023江苏南通高一统考阶段练习）设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5（2023全国高一专题练习）已知函数在上是奇函数，当时，则不等式的解集是（）ABCD6（2023全国高一专题练习
19、）定义在上的函数，若的图象关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（）ABCD7（2023江西上饶高一江西省广丰中学校考阶段练习）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（）ABCD8（2023江苏南通高一统考阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（）ABCD二、多选题9（2023全国高一专题练习）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（）A的图像关于对称B必成立C必成立D的图像关于原点对称10（2023广东深圳高一校考期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下
20、列说法正确的是（）A的值域为B的定义域为C，D为偶函数11（2023湖南株洲高一统考开学考试）下列说法正确的是（）A若函数是偶函数，则的图象关于对称；B若函数的图象关于对称，则；C若函数的图象关于点对称，则为奇函数；D函数的图象的对称中心是点12（2023全国高一专题练习）定义在上的函数满足，且当时，则下列说法正确的有（）AB为奇函数C为增函数D三、填空题13（2023全国高一专题练习）若（，且）是奇函数，则 .14（2023高一课时练习）下列函数为偶函数的是 （填序号）；15（2023全国高一专题练习）给出下列结论：若的定义域关于原点对称，则是偶函数；若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；若
21、，则是偶函数；若是偶函数，则；若，则不是偶函数；若是定义域为的奇函数，则其中正确结论的序号是 16（2023江苏南通高一统考阶段练习）设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，且有，则的最小值为 .四、解答题17（2023湖南株洲高一株洲二中校考阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且时，.(1)求函数的解析式，并写出单调区间；(2)求不等式的解集.18（2023安徽安庆高一安庆市第七中学校考期中）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值(2)若在上最大值为4，求19（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：；对任意，都有；当时，.(1)证明：为奇函数.(2)解不等式.(3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.20（2023江西上饶高一江西省广丰中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题(1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；(2)写出当时，的解析式；(3)用定义法证明函数在上单调递减.21（2023高一课时练习）已知函数是定义在上的函数(1)用定义法证明函数在上是增函数；(2)解不等式22（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且(1)求函数的解析式；(2)判断并证明在上的单调性；(3)若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围
