1、5.2三角函数的概念一、 任意角的三角函数的定义1. 条件：如图，设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)2. 定义（1）正弦：点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin ，即ysin （2）余弦：点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos ，即xcos （3）正切：点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)（4）三角函数：正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR正切函数ytan x，xk，kZ思考三角函数值的大小与点P在角终边上位置是否有关？二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1图示：2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”三、公
2、式一终边相同的角的同一三角函数的值相等即(sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，其中kZ.四、同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2cos21同一个角的正弦、余弦的平方和等于1商数关系tan 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切思考同角三角函数基本关系中，角是否是任意角？考点一 三角函数的定义【例1】(2020辽宁沈河沈阳二中高一期末)如果角的终边过点，那么等于( )ABCD【练1】(2020内蒙古通辽高一期中(理)点是角终边上异于原点的一点，则值为( )ABCD考点二 三角函数值正负判断【例2】(2020辽宁高一期末)若，且，则角是( )A第一
3、象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【练2】(2019上海中学高一期中)若则在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点三 三角函数线【例3】(2020湖南长沙高一月考)设，则的大小关系为( )ABCD【练3】(2020全国高一课时练习)若,且不等式和成立,则角的取值范围是( )ABCD考点四 同角三角函数【例4】(2020衡阳市第二十六中学高一期末)已知，并且是第二象限的角，那么的值等于( )ABCD【练4】已知sin=a-11+a,cos=-a1+a，若是第二象限角，则tan的值为A-12B-2C-34D-43考点五 弦的齐次【例5】 (2020阜新市第二高级中学高一期末)已知，则
4、的值为ABCD【练5】(2020山西平城大同一中高一月考)已知，则( )ABCD考点六 sinacosa与sinacosa【例6】(2020河南焦作高二期末(理)已知，则( )AB或CD或【练6】(2020山西应县一中高三开学考试(文)若cos2sin，则tan_.课后练习1. （2021高二下玉溪期末）已知点 P(-3,4) 为角 终边上的一点，则 sin= . 2. （2020高一上合肥期末）已知在 ABC 中， cos(A+B)0 ， sinC=23 ，则 sin2C= _. 3. （2020高一上和平期末）已知角 是第四象限角，且满足 3cos(-)-sin(2+)=1 ，则 tan=
5、 _ 4. （2021高一下桂林期末）若角 是第二象限的角，且 sin=255 ，则 cos= . 5. （2021高一下岑溪期末）已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足 OC=OAcos+OBcos2 ，则 sin2+sin4+sin6 的值是. 6. （2021高二下桂林期末）在 ABC 中， BAC=90 ， AB=6 ， AC=8 ， D 是斜边上一点，以 AD 为棱折成二面角 C-AD-B ，其大小为60，则折后线段 BC 的最小值为 7.（2021高一下石家庄期末）设定义在区间 (0,2) 上的函数 y=2cosx 的图象与 y=3tanx 的图象交于点 P
6、，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1 ，直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2 ，则线段 P1P2 的长为. 8.（2021高三上嘉兴月考）已知函数 f(x)=23sinxcosx-cos2x(xR) . （1）求 f(x) 的单调递增区间； （2）设 (0,3) ，且 f()=65 ，求 sin2 的值. 9.（2021海淀期中）如图，在四边形 ABCD 中， AB/CD ， AB=26 ， CD=6 ， cosA=63 ， cosADB=13 . （1）求 cosBDC ； （2） 求 BC 的长. 10.（2021如皋模拟）已知 ABC 中， B=3,AC=13 ，
7、 ， 求 SABC 请从 sinA=4sinC ； a-c=3 ； cosC=72613 三个条件中选择一个补充在上面问题中，并作答11.（2021高一下房山期末）在 ABC 中， asinB=bcosA （1）求 A 的大小； （2）求 cosB+2cosC 的最大值 12.（2020高一上成都期末） （1）求 823+lg31000-lg3 的值； （2）已知 tan=2 ，求 sin(+)-sin(32-)sin(-)+2cos(2-) . 精讲答案思考答案三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关思考答案平方关系中
8、的角是任意角，商数关系中的角并非任意角，k，kZ.【例1】【答案】C【解析】由题意得，它与原点的距离为2，.故选：C.【练1】【答案】B【解析】【例2】【答案】C【解析】，又，则.因此，角为第三象限角.故选：C.【练2】【答案】D【解析】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D.【例3】【答案】C【解析】以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：由三角函数线的定义知，因为，故选：C【练3】【答案】B【解析】由三角函数线知,在内使的角,使的角,故的取值范围是.故选：B.【例4】【答案】A【解析】
9、因为，故又因为是第二象限的角，故故.故选：A.【练4】【答案】C【解析】由sin2+cos2=1，得：(a-11+a)2+(a1+a)2=1，化简，得：a2-4a=0，因为是第二象限角，所以，a=4，tan=sincos=a-11+a(-1+aa)1-aa=1a-1-34，故选C.【例5】【答案】B【解析】【练5】【答案】B【解析】由已知故选：B【例6】【答案】A【解析】将左右两边平方可得.由，解得或.，.故选：A【练6】【答案】2【解析】由得，tan=2，故答案为2.练习答案1.【答案】 45 【考点】任意角三角函数的定义 【解析】点 P(-3,4) 为角 终边上的一点，所以 sin=4(-
10、3)2+42=45。 故答案为： 45。【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义，从而结合勾股定理求出角的正弦值。2.【答案】 -2149 【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】因为在 ABC 中， cos(A+B)0 ，则 cos(-C)0 ，所以 cosC0 ，则角 C 为钝角； 又 sinC=23 ，所以 cosC=-1-sin2C=-73 ，因此 sin2C=2sinCcosC=223(-73)=-2149 .故答案为： -2149 .【分析】由题意利用三角形内角和定理，诱导公式可求可得cosC0 ， 可得角 C 为钝角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，
11、进而根据二倍角公式即可求解sin2C的值。3.【答案】 -3 【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值 【解析】 3cos(-)-sin(2+)=1 ， 3cos-cos=1 ，即 cos=12 ， 角 是第四象限角， sin=-1-cos2=-32 ，tan=sincos=-3 ，故答案为： -3 。【分析】利用诱导公式结合已知条件化简求出cos的值，再利用角 是第四象限角，结合同角三角函数基本关系式，从而求出角的正弦值，进而求出角的正切值。4.【答案】 -55 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】解： 角是第二象限的角，且sin=255 cos0 cos=-1-sin
12、2=-1-2552=-55 故答案为： -55 【分析】根据同角三角函数的基本关系直接求解即可.5.【答案】 5-1 【考点】向量的线性运算性质及几何意义，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】解：A,B,C三点共线，且 OC=OAcos+OBcos2 cos+cos2=1 cos2=1-cos，cos=1-cos2=sin2， sin6=(sin2)3=(cos)3=cos(1-cos)=cos-cos2=cos-(1-cos)=2cos-1 sin2+sin4+sin6=cos+cos2+2cos-1=cos+1-cos+2cos-1=2cos 又由cos=1-co
13、s2得cos2+cos-1=0，解得cos=5-12或cos=-5-12-1（舍去） 则原式=2cos=5-1 故答案为：5-1【分析】根据三点共线的充要条件，结合同角三角函数的基本关系求解即可6.【答案】 27 【考点】向量的线性运算性质及几何意义，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值 【解析】解：如图，过C，B作AD的垂线，垂足分别为E,F，故BFEF,ECEF， 所以BFFE=0,FEEC=0 以AD为棱折叠后，则有BC=BF+FE+EC 故BC2=BF+FE+EC2=BF2+FE2+EC2+2BFEC+2BFFE+2FEE
14、C =BF2+FE2+EC2+2BFEC 因为以D为棱折成60的二面角C-AD-B 所以BF与EC的夹角为120 令BAD=，则CAE=90-， 在RtABF中，BF=ABsin=6sin，AF=6cos， 在RtACE中，EC=ACsin(90-)=8cos，AE=ACcos(90-)=8sin， 故EF=AE-AF=8sin-6cos， 所以BC2=6sin2+8sin-6cos2+8cos2+26sin8cos-12 =36sin2+cos2+64sin2+cos2-144sincos =100-72sin2 故当=45时，BC2有最小值28 故线段BC最小值为27 故答案为：27【分析
15、】根据向量的线性运算，结合二面角的定义以及同角三角函数的基本关系、诱导公式求解即可.7.【答案】 12 【考点】正弦函数的图象，同角三角函数间的基本关系 【解析】设 P(x0,y0) ，则 P1(x0,0) ，由题意知 2cosx0=3tanx0=3sinx0cosx0 ， 所以 2cos2x0=3sinx0 ，因为 sin2x0+cos2x0=1 ，所以 2(1-sin2x0)=3sinx0 ，即 2sin2x0+3sinx0-2=0 ，所以 (2sinx0-1)(sinx0+2)=0 ，所以 sinx0=12 ，直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2 ，可得 P2(x0,s
16、inx0) ，所以 P1P2=|sinx0|=12 。故答案为： 12 。【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和解一元二次方程求解方法，从而求出sinx0的值 ，再利用直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2 ，可得 P2 的坐标 ，再利用两点距离公式求出线段 P1P2 的长。 8.【答案】（1）因为 f(x)=23sinxcosx-cos2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6) ， 由 2k-22x-62k+2(kZ) ，解得 k-6xk+3(kZ) ，因此，函数 f(x) 的单调递增区间为 k-6,k+3(kZ) ；（2）f()=2sin(2-6)=65
17、 ，可得 sin(2-6)=35 ， 因为 (0,3) ，则 -62-62 ，所以， cos(2-6)=1-sin2(2-6)=45 ，因此， sin2=sin(2-6)+6=32sin(2-6)+12cos(2-6)=4+3310 .【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性，同角三角函数间的基本关系 【解析】【分析】(1)根据题意首先由两角和的正弦公式化简整理即可得出函数的解析式，再由正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调区间。 (2)已知条件把点的坐标代入计算出sin(2-6)=35 ， 结合角的取值范围和同角三角函数的基本关系式，计算出cos(2-6)的值，
18、再由二倍角的正弦公式代入计算出结果即可。 9.【答案】 （1）解：因为 cosA=63 ， cosADB=13 ，则 A 、 ADB 均为锐角， 所以， sinA=1-cos2A=33 ， sinADB=1-cos2ADB=223 ，cosABD=cos(-A-ADB)=-cos(A+ADB)=sinAsinADB-cosAcosADB =33223-6313=69 ，AB/CD ，则 BDC=ABD ，因此， cosBDC=cosABD=69 ；（2）解：在 ABD 中，由正弦定理可得 ABsinADB=BDsinA ， 可得 BD=ABsinAsinADB=2633223=3 ，在 BCD
19、 中，由余弦定理可得 BC2=BD2+CD2-2BDCDcosBDC=9+6-23669=11 ，因此， BC=11 .【考点】同角三角函数间的基本关系，诱导公式，余弦定理 【解析】（1)根据题意同角三角函数的基本关系式代入数值计算出sinA以及sinADB=223的值，再由诱导公式结合已知条件即可计算出结果即可。 (2)由已知条件结合余弦定理代入数值计算出BD的值，同理在BCD中也可计算出BC的值。 10.【答案】 选 因为 sinA=4sinC ，由正弦定理得 a=4c ，在 ABC 中，由余弦定理得 a2+c2-2ac12=13 ，即 17c2-4c2=13,c=1 a=4,SABC=1
20、24132=3 选由余弦定理可知 b2=a2+c2-ac=13 ，即 (a-c)2+ac=13 ，又 a-c=3 ，所以 ac=4 ，则 SABC=12acsinB=3 选 因为 cosC=72613 ， 0C ，所以 sinC=3926 ，所以 cosA=cos(-B-C)=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinCsinB =-7261312+392632=-1313 ，且 0A ，所以 sinA=23913 ，由正弦定理得 BCsinA=ACsinB ，即 BC23913=1332 ，解得 BC=4 ，所以 SABC=12ACBCsinC=121343926=3 . 【考点】同角三
21、角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】选 利用正弦定理得出a=4c ， 再由余弦定理整理得出关于c的方程求解出c的值，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。 选 首先利用余弦定理整理得到(a-c)2+ac=13结合已知条件，即可得出ac=4从而求出三角形的面积值。 选 根据题意由同角三角函数的基本关系式计算出sinC的值，再由诱导公式结合两角和的余弦公式整理求出cosA的值，由此求出sinA的值，再由正弦定理代入数值计算出BC的值，并把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。11.【答案】 （1）由 asinA=bsinB ， asinB=bcosA ，
22、 得 sinAsinB=sinBcosA ， sinB0 ，得 tanA=1 ，因为 0A ，所以 A =4 （2）由（1）知， B+C=34 cosB+2cosC=cosB+2cos(34-B) =cosB-222cosB+222sinB =sinB 因为 AA1=a2 ，所以当 B=2 时， cosB+2cosC 取得最大值1.【考点】三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数间的基本关系，正弦定理 【解析】(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合sinB0,可得tanA=1，结合范围A(0,),可得A的值； (2)利用三角函数恒等变换的应用可求 cosB+2cosC=sinB,根据正弦函数的性质即可求解其最大值. 12.【答案】 （1）解： 823+lg31000-lg3 =4+lg3-3-lg3 =1 （2）解：因为 tan=2 ， 所以 sin(+)-sin(32-)sin(-)+2cos(2-) =-sin-(-cos)sin+2cos =-tan+1tan+2 =-2+12+2 =-14 【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值 【解析】【分析】(1)由对数的运算性质整理化简即可求出结果。 (2)首先由诱导公式化简原式再由同角三角函数的商数关系整理即可得出答案。
