1、11.2余弦定理(一)学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一余弦定理的推导思考1根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcosC试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当abc时，C60，a2b22abcosCc2c22cccos60c2，即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcosC.思考2在c2a2b22abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案abcosC|cos，.a2b22abcosC222()22c2.猜想得证
2、梳理余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理知识点二余弦定理的呈现形式1a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2cosA；cosB；cosC.知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考2观察知识点二第2条中的
3、公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形类型一余弦定理的证明例1已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.解如图，设a，b，c，由，知cab，则|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cosC.所以c2a2b22abcosC.反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方
4、跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，BC2b2cos2A2bccosAc2b2sin2A，即a2b2c22bccosA.同理可证b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.类型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，解三角形(角度精确到1，边长精确到1cm)解根据余弦定理，a2b2c22bccosA60234226034cos411676.78，所以a41(cm)由正弦定
5、理得，sinC0.5440.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C33，所以B180(AC)180(4133)106.反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练2在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理，得c2a2b22abcosC84，所以c.由正弦定理，得sinA，因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.命题角度2已知三边例3在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形(角度精确到1)解cosA0.5543，A5620.cosB0.8398，B3253.C180(
6、AB)180(56203253)9047.反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA，cosB，cosC求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理跟踪训练3在ABC中，sinAsinBsinC245，判断三角形的形状解因为abcsinAsinBsinC245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cosCbc，C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cosC.又C为锐角，C.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c，由余弦定理，得cosC.1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的
7、问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角40分钟课时作业一、选择题1在ABC中，已知B120，a3，c5，则b等于()A4B.C7D5答案C解析b2a2c22accosB3252235cos12049，b7.2边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是
8、()A90B120C135D150答案B解析设中间角为，则为锐角，cos，60，18060120为所求3在ABC中，已知b2ac且c2a，则cosB等于()A.B.C.D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，cosB.4ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则的值为()A19B14C18D19答案D解析设三角形的三边分别为a，b，c，依题意得，a5，b6，c7.|cos(B)accosB.由余弦定理得b2a2c22accosB，accosB(b2a2c2)(625272)19，19.5在ABC中，sin2，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形答案B解
9、析sin2，cosA，a2b2c2，符合勾股定理ABC为直角三角形6.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为()A50mB45mC50mD47m答案C解析依题意得OD100m，CD150m，连接OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理，得OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC2100215022100150，解得OC50(m)二、填空题7在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A_
10、.答案120解析a2c2b2bc，b2c2a2bc，cosA，又A(0，180)，故A120.8已知三角形三边长为a，b， (a0，b0)，则最大角为_答案120解析易知a，b，设最大角为，则cos，又(0，180)，120.9在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，则AC边上的中线长为_答案7解析由条件知cosA，设中线长为x，由余弦定理，知x22AB22ABcosA429224949，所以x7.所以AC边上的中线长为7.10在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_答案解析cosC，C(0，)，sinC.ADACsinC.三、解答题11在ABC中，BCa，ACb，
11、a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长解(1)cosCcoscos(AB).又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2a2b22abcos120(ab)2ab10，AB.12在ABC中，已知ab4，ac2b，最大角为120，求三边长解由得abc，A120，a2b2c22bccos120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)，即b210b0，解得b0(舍去)或b10.当b10时，a14，c6.13在ABC中，acosAbcosBccosC，试判断三角形的形状解由余弦定理知cosA，cosB，cosC，代入已知条件，得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(c2a2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形