1、第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及其运算1.已知函数f(x)x22x，函数f(x)从2到2x的平均变化率为()A2x B2xC2x D(x)22x2.下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e; (log2x)；(ex)ex; (xex)ex1.A1 B2C3 D43.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0 s末 B1 s末C2 s末 D1 s末和2 s末4.曲线yx3x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A. B.C. D.5.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象大致形状是
2、()6.曲线C：f(x)sin xex2在x0处的切线方程为_7.与直线2x6y10垂直，且与曲线f(x)x33x21相切的直线方程是_8.求下列函数的导数：(1)y；(2)y(x21)sin xxcos x；(3)y；(4)y.9.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值第16讲导数在函数中的应用1.下列命题中的真命题是()A“f (x)0在上恒成立”是“连续可导函数f(x)在上为增函数”的充要条件B若f (x0)0，则x0一定
3、是yf(x)的极值点C函数的极大值可能会小于这个函数的极小值D函数在开区间内不存在最大值和最小值2.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()3.函数f(x)x33x24xa的极值点的个数是()A2 B1C0 D由a确定4.函数yxex的最小值是()A1 BeC D不存在5.设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_6.直线ya与函数f(x)x33x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是_7.已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_8.设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(
4、x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值9.已知函数f(x)x33x2axb在x1处的切线与x轴平行(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象与抛物线yx215x3恰有三个不同的交点，求b的取值范围第17讲导数的综合应用(主要含优化问题)1.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长是()A30 B40C50 D其他2.f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0，对任意正数a、b，若a0时，f(x)2x2.8.某工厂生产某种
5、产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C1000020x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式R，已知每日的利润yRC，且当x30时，y100.(1)求a的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值9.某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB2 m，渠深OC1.5 m，水面EF距AB为0.5 m.(1)求截面图中水面的宽度；(2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的土最少？第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及其运算1B2.B3.D4
6、.D5.B6.y2x37.3xy208解析：(1)y.(2)y(xcos x)(x21)sin x(x21)cos xcos xxsin x2xsin x(x21)cosxxsin xcos xxsin xx2cos x.(3)y.(4)因为yxx，所以y(x)(x)xx.9解析：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f (x)a，于是，解得.故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任意一点由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx，得yx2x0，从而
7、得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.第16讲导数在函数中的应用1C2.D3.C4.C5.(1，)6.2a27(，3)(6，)8解析：(1)由f(x)2x3ax2bx1，得f(x)6x22axb.从而f(x)6(x)2b，即yf(x)关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f
8、(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数；从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.9解析：(1)f(x)3x26xa.由f(1)0，解得a9.则f(x)3x26x93(x3)(x1)，故f(x)的单调递增区间为(，1)，(3，)，单调递减区间为(1,3)(2)令g(x)f(x)(x215x3)x3x26xb3.则原题等价于g(x)0有三个不同的根因为g(x)3
9、x29x63(x2)(x1)，所以g(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减则g(x)的极小值为g(2)b10，解得b1.所以b的取值范围为(，1)第17讲导数的综合应用(主要含优化问题)1B2.C3.C4.D5.B、A、D、C6.(，1)7解析：设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0x0；当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.8解析：(1)由题意可得y.因为x30时，y100，所以100303a3022703010000，所以a3.(2)当0x120时，yx33x2270x10000，yx26x270.由yx26x2700，
10、可得x190，x230(舍去)所以当x(0,90)时，原函数是增函数，当x(90,120)时，原函数是减函数，所以当x90时，y取得最大值14300.当x120时，y10400201208000，所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元9解析：建立坐标系，设抛物线方程为x22p(y)，以B点坐标(1,0)代入抛物线方程得p，所以抛物线的方程为x2(y)(1)把F点的坐标(a，)代入抛物线的方程得a，所以水面宽EF m.(2)设抛物线上的一点M(t，t2)(t0)，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过M点与抛物线相切的切线挖土，由yx2.得y3x，所以过点M的切线的斜率为3t，所以切线的方程为y3t(xt)(t2)，当y0时，x1(t)；当y时，x2.所以截面的面积S(2t).当且仅当2t，且t0，即t时，截面的面积最小，此时下底的边长为 m.