1、4.5.1 函数的零点与方程的解【学习目标】课程标准学科素养1.理解零点的概念；2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数；3.能够利用零点的存在解决含参问题1.数形结合2.数学运算3.逻辑推理【自主学习】一. 函数的零点对于函数yf(x)，把 叫做函数yf(x)的零点函数yf(x)的图象与x轴交点的 就是函数yf(x)的零点思考1：(1)函数的零点是点吗？(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)0根的个数有什么关系？二函数的零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条 的曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a，b)
2、内 ，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根解读：并非函数所有的零点都能用这种方法找到如yx2的零点在x0附近就没有这样的区间只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法思考2：(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？(2)函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点 ()(3)若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f
3、(b)0. ()2.函数f(x)2 020x2 019的零点是()A(，0)B2 020 C2 019 D.【经典例题】题型一求函数的零点(方程的根)点拨: 函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)【跟踪训练】1 已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)_.题型二判断零点所在的区间点拨：判断函数零点所在区间的三个步骤：1.将区间端点代入函数求出函
4、数的值.2.把所得函数值相乘，并进行符号判断.3.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.例2 f(x)lnxx39的零点所在的区间为( )A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【跟踪训练】2 若方程log3xx3的解所在的区间是(k，k1)且kZ，则k_.题型三函数零点个数的判断点拨：1.判断零点的个数时 由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系中作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数.2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象交点问题
5、，从而确定参数的范围.例3求函数f(x)log2xx2的零点的个数【跟踪训练】3 若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是 。【当堂达标】1.（多选）若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(x) 0，f(2) 0，则下列说法错误的是（ ）Af(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点Cf(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点Df(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点2.函数f(x)(x1)(x23x10)的零点个数是()A1B
6、2 C3D43.函数f(x)x2log2x，则f(x)的零点所在区间为( )A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)4.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个5.二次函数yax2bxc中，ac0，则函数有_个零点6.求方程logax2x60的实数解的个数【课堂小结】1.函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的解，因此判断一个函数是否有零点，有几个零
7、点，就是判断方程f(x)0是否有实数解，有几个实数解(3)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数解，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象交点的横坐标2.判断函数yf(x)零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线(2)由f(a)f(b)0就可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点【参考答案】【自主学习】使f(x)0的实数x 横坐标思考1 (1)不是，是使f(x)0的实数x，是方程f(x)0的根(2) 相等。连续不断 f(a)f(b)0.【小试牛刀】(1)(2)(3) (4)【经典例题】例1解：(1)令x24x40，解得
8、x2，所以函数f(x)存在零点，且零点为x2.(2)令0，解得x1，所以函数f(x)存在零点，且零点为x1.(3)令4x50，显然方程4x50无实数根，所以函数f(x)不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x0.【跟踪训练】1 6 解析： 由条件知f(-1)0， f(4)0，f(1)ab46.例2 C解析：f(1)1980，f(2)ln289ln210，f(2)f(3)0，函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)【跟踪训练】2 2 解析：令f(x)log3xx3，则f(2)log3210，f(3)10，由零点存在性定理得f(2)f(3)0，零点所在区
9、间为(2,3)，k2.例3 解：令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点【跟踪训练】3 (0,2) 解析：令|2x2|b0，得|2x2|b，由题意可知函数y|2x2|与yb的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0b2.【当堂达标】1.ABD 解析：由题知f0f10，无法判断fx在区间1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点2.C 解析：f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.故函数f(x)的零点有3个选C.3. B 解析：f(1)1log211，f(2)log221，f(1)f(2)0，故选B4. B 解析：由题表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0得二次函数yax2bxc有两个零点6. 解：由logax2x60得logax2x6当a1时，作ylogax与y2x6的图象，ylogax为增函数，y2x6为减函数，有一个交点当0a1时，作ylogax与y2x6的图象，随x的增大，ylogax的递减逐渐变慢，有两个交点故当a1时，方程有一个实数解当0a1时，方程有两个实数解
