1、第2课时两角和与差的正切函数核心必知两角和与差的正切公式名称公式成立条件两角和的正切(T)tan()，k(kZ)两角差的正切(T)tan()，k(kZ)问题思考对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？提示：常见的变形公式有：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan tan tan()tan()；tan()tan tan tan tan tan()；1tan tan ；1tan tan .讲一讲1计算：(1)_；(2)tan 10tan 50tan 10tan 50_尝试解答(1)法一：tan 75tan
2、(4530)2.法二：原式tan(4575)tan 30.(2)tan 60，原式tan 60(1tan 10tan 50)tan 10tan 50tan 10tan 50tan 10tan 50.利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见1tan 45，及变形公式tan tan tan()(1tan tan )等练一练1计算：(1)_；(2)(1tan 22)(1tan 23)_解析：(1)原式tan(1545)tan 60.(2)原式1tan 23tan 22tan 22tan 231tan(2223
3、)(1tan 22tan 23)tan 22tan 2311(1tan 22tan 23)tan 22tan 232.答案：(1)(2)2讲一讲2已知tan()，tan()，求tan()尝试解答tan()，tan()，tan()tan()().“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角2已知sin()，tan ，并且是第二象限的角，求tan()的值解：sin()sin ，sin .又是第二象限角，cos ，tan ，又tan ，tan()2.讲一
4、讲3已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值尝试解答tan()，.tan .tan 1tan 0.又(0，)，(0，)2(0，)(0，)，tan ，(，)20.tan(2)tan()10，2 .在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应练一练3若tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，(，)，则_解析：由题意得tan tan 30，tan 0，tan 0，(，0)，(，0)而tan()，.答案：已知tan 1，sin(2)3sin ，试求tan()的值错解由tan 1，可设，代
5、入sin(2)3sin ，得cos 3sin ，即tan .tan()tan()2.错因上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法本题应注意从tan 1解得k(kZ)，从而可把代入sin(2)3sin 得解另外，若注意到角的变化：2()，()，仍可得解正解法一：由tan 1，得k(kZ)，故sin(2)sin()cos .sin(2)3sin ，tan .tan()tan()2.法二：由sin(2)3sin ，可得sin()3sin()由两角和、差的正弦公式得2cos()sin sin()cos .2tan tan()tan()2.1tan 195的值为()A2B2C.1 D.2解析
6、：选Btan 195tan 15tan(4530)2.2已知(，)，sin ，则tan()等于()A. B7C D7解析：选Asin ，(，)，cos .tan ，tan().3已知tan tan 2，tan()4，则tan tan ()A2 B1C. D4解析：选C由tan()，得tan tan 11.4已知tan()2，则tan 等于_解析：tan()2，2，解得tan 3.答案：35(新课标全国)设为第二象限角，若tan，则sin cos _解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力法一：由在第二象限，且
7、tan，因而sin，因而sin cos sin.法二：如果将tan利用两角和的正切公式展开，则，求得tan .又因为在第二象限，则sin ，cos ，从而sin cos .答案：6已知tan ，cos .若090180，求的值解：cos ，90180，sin .tan 2，又tan .tan()1.090180，90270.135.一、选择题1.等于()Atan 42B.C. D解析：选C原式tan(519)tan 60.2在ABC中，tan Atan Btan Atan B，则C等于()A. B.C. D.解析：选A已知条件可化为tan(AB)(1tan Atan B)(tan Atan B
8、1)tan(AB)tan C.tan C，即C.3已知tan()5，tan()3，则tan 2()A B.C. D解析：选Atan 2tan()().4已知tan()，tan，则tan()A. B.C. D.解析：选C()，tantan.二、填空题5._解析：原式.答案：6._解析：法一：原式tan(3075)tan(45)1.法二：原式1.答案：17若A18，B27，则(1tan A)(1tan B)的值是_解析：原式tan Atan Btan Atan B1tan(1827)(1tan 18tan 27)tan 18tan 2712.答案：28已知tan 和tan()是方程x2pxq0的两
9、个根，则p，q满足关系式为_解析：由题意知，tan tan()p，tan tan()q.又，tan()1.pq10.答案：pq10三、解答题9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点已知A，B的横坐标分别为，. (1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos ，cos ，因为锐角，故sin 0.从而sin .同理可得sin .因此tan 7，tan .所以tan()3.(2)tan(2)tan()1.又0，0，故02.从而由tan(2)1，得2.10是否存在锐角和，使得下列两式：(1)2；(2)tan tan 2同时成立解：假设存在符合题意的锐角和，由(1)知，tan().由(2)知tan tan 2，tan tan 3.tan ，tan 是方程x2(3)x20的两个根，得x11，x22.0，则0tan 1，tan 1，即tan 2，tan 1.又0，则，代入(1)，得，存在锐角，使(1)(2)同时成立
