4.4 数学归纳法（原卷版）.docx

1、4.4 数学归纳法一、数学归纳法的定义和关键点1、定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立.在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。2、三个关键点（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的

2、过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项（3）利用假设是核心：在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法二、归纳猜想证明”的一般环节：1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.三、用数学归

3、纳法证明恒等式的步骤及注意事项1、明确初始值并验证真假（必不可少）；2、“假设时命题正确”并写出命题形式；3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。题型一 对数学归纳法的理解【例1】用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）A2 B3 C4 D5【变式1-1】一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）A一切自然数成立 B一切正整数成立C一

4、切正奇数成立 D一切正偶数成立【变式1-2】与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立现得知时命题不成立，那么可推得（ ）A当时，该命题不成立 B当时，该命题不成立C当时，该命题成立 D当时，该命题成立【变式1-3】用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成（ ）A时，能被整除；B时，能被整除；C时，能被整除；D时，能被整除题型二 数学归纳法中的增项问题【例2】用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）A B C D【变式2-1】用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（ ）A B C

5、D【变式2-2】用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项A7 B6 C5 D4【变式2-3】利用数学归纳法证明不等式（）的过程，由到时，左边增加了（ ）Ak项 B项 C项 D项题型三 用数学归纳法证明恒等式【例3】用数学归纳法证明.【变式3-1】用数学归纳法证明：.【变式3-2】用数学归纳法证明：【变式3-3】观察下列等式：按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立题型四 用数学归纳法证明不等式【例4】用数学归纳法证明：当nN*时，12233nn(n1)n.【变式4-1】用数学归纳法证明：【变式4-2】设，且，求

6、证：.【变式4-3】）证：，nN*题型五 用数学归纳法证明整除问题【例5】用数学归纳法证明：可以被7整除.【变式5-1】求证：对于自然数能被13整除.【变式5-2】求证：对任意正整数，都能被整除【变式5-3】求证：能被整除题型六 用数学归纳法证明数列问题【例6】设数列满足（1）求的值并猜测通项公式；（2）证明上述猜想的通项公式【变式6-1】在数列，中，且当（为正整数）时，（1）计算，的值，并猜测数列，的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测【变式6-2】已知数列中，其前项和为，当时，.（1）计算，；（2）依据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.【变式6-3】已知数列1，（）的前项和为（1）求，；（2）猜想前项和，并证明