1、4.3.1等比数列的概念 (1)教学设计-李德峰（一）教学内容 等比数列的概念（二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列2. 地位与作用 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。（三）学情分析 1.认知基础：学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程2.认知障碍：概念的抽象（四）教学目标 1. 知识目标：通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.体会等比数列与指数函数的关系2.能力目
2、标：3.素养目标：在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.（五）教学重难点：1. 重点： 等比数列及等比中项的概念2. 难点： 等比数列的函数特征及综合运用（六）教学思路与方法 教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七） 课前准备多媒体（八）教学过程 教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图我国古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”问题1你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？提示构成数列：9，9
3、2，93，94，95，96，97，98.问题2根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？提示上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.让学生讨论回答传统文化作为导语，引入等比数列，增强学生文化自信。教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:9,92,93,910; 100,1002,1003,10010; 5,52,53,510. 2.庄子天下中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是12,14,18,116,132, 3
4、.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2,4,8,16,32,64, 4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为 r ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a1+r,a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 探究1 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？如果用 an 表示数列，那么有a2a1=9,a3a2=9,a10a9=9这表明，数列有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.其余几个数列也有
5、这样的取值规律，请你写出相应的规律。思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q0 ) 符号语言： anan-1=q(n2,nN*)与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2=ab探究：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列an的为q,根据等比数列的定义，可得an+1=anq所以a2=a1 q, a3=a2 q=(a1
6、q) q=a1q2,a4=a3q=(a1q2) q=a1q3 归纳可得an=a1qn-1(n2)又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时，上式也成立。因此，首项为a1,公比为q的等比数列an的通项公式为an=a1qn-1类似于等差数列与一次函数的关系，由an=a1qn-1=a1qqn可知，当q0且q1时 , f(x)=a1qqx(xR)当x=n时, f(n)=a1qqn(nN*)反之，任给函数f(x)=kax（为k, a常数， k0, a0且a1）f1=ka，f2=ka2，fn=kan，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a让学生从相邻项之间的关系观察数列特征类比等差数列，
7、尝试让学生表述通过与等差数列进行类比，引导学生通过观察、分析、归纳出等比数列的定义。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例1. 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求an的第5项.分析：等比数列an由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。解法1：由a4=48，a6=12，得a1q3=48， a1q5=12. 的两边分别除以的两边，得q2=14. 解得q=12或-12.把q=12 代入，得a1 =384.此时a5=a1q4 =384(12)4=24.把q=-12 代入，得a1 =-384.此时a5=a1q4 =384
8、(-12)4=-24.因此an的第5项是24或-24.解法2：因为a5 是a4 与a6 的等比中项，所以a52=a4a6=4812=576.所以a5=576=24.因此，an的第5项是24或-24.例2 已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am表示an.解：由题意，得am=a1qm-1，an=a1qn-1. 的两边分别除以的两边，得anam=qn-m所以 an=amqn-m.例3. 数列an共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组
9、求解.解：设前三项的公比为 q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2, 80q,80,80+d, 80+2d,于是得80q+(80+d)=136,80q2+80+2d=132.解方程组，得q=2d=16或 q=23d=-64 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.主要以学生板演为主通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素教学环节：课堂练习1.(多选题)下列说法正确的有( )A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42
10、，62，82，成等比数列解析A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错.答案AC2.在等比数列an中，a18，a464，则a3等于( )A.16 B.16或16C.32 D.32或32解析由a4a1q3，得q38，即q2，所以a332.答案C3.已知a是1，2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于( )A.6 B.6 C.6 D.12解析a，b2(1)(16)16，b4，ab6.答案C4.45和80的等比中项为_.解析设45和80的等比中项为G，则G24580，G60.答案60或605.已知数列an中，a14，an12an5，求证an5是等比数列.证明由an12an5得an152(an5).又a1510，故数列an5是首项为1，公比为2的等比数列.教学环节：小结思考 布置作业小结作业：课本31页练习1、2、3、4、5题课本40页1、2题教学环节：板书设计概念：通项公式：例1例2例3小结：
