1、4.3.1 对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】一对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是 .思考1：如何求解3x2?二.常用对数与自然对数1.常用对数：通常我们将以 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为 .2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e2.718 28为底数的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 .三.对数的基本性质1.负数和零 对数.2.loga1 (a0，且a1).3.logaa
2、 (a0，且a1).思考2：为什么零和负数没有对数？四.对数恒等式1. a (a0且a1，N 0).2.logaab (a0，且a1)思考3：如何推出对数恒等式aN(a0且a1，N 0)吗？解读：恒等式aN与logaabb的作用1.aN的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式2.logaabb的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)logaN是loga与N的乘积()(2)(2)38可化为log(2)(8)3.()(3)对数运算的实质是求幂指数()(4)在blog3(m1)中，实数m的取值范围是(1，)()2.若log3x
3、3，则x()A1 B3 C9 D27【经典例题】题型一指数式与对数式的互化点拨：指数式与对数式互化的思路1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1根据对数定义，将下列指数式写成对数式：3x； x64； log16； ln 10x.【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)4364；(2)ln ab；(3)n；(4)lg 10003.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值点拨:1.将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.2.利用幂的运算性质和指数的
4、性质计算.例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (1)log2x；(2)logx252；(3)log5x22.【跟踪训练】2 (1)求下列各式的值.log981_.log0.41_.ln e2_. (2)求下列各式中x的值.log64x；logx86； lg 100x；ln e2x.题型三对数基本性质的应用点拨：利用对数性质求值的方法1.性质:loga10; logaa1 (a0，且a1).2.求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值3.对数恒等式aN (a0且a1，N 0)，logaabb(a0，且
5、a1).例3 求下列式子值。(1)2log232log313log773ln 1_. (2)9_.【跟踪训练】3 求下列各式中的x的值(1)log2(log3x)0；(2)log2log3(log2x)1.【当堂达标】1（多选）下列选项中错误的是()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可以化成对数式C.以10为底的对数叫做自然对数D.以e为底的对数叫做常用对数2.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是()A与lg 10B与log27Clog392与3Dlog551与5153.对数式log(a2)(5a)b中，实数a的取值范围是()A(，5)B(2,5)C(2，) D(2,3)(3,5)
6、4.方程lg(2x3)1的解为_.5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)23；(2)b；(3)lg 3 .6.计算下列各式：(1) ；(2) .7.若log(x2)(x27x13)0，求x的值【课堂小结】1.对数概念的理解(1)规定a0且a1.(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以abN中，N总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abNlogaNb(a0且a1，N0)，据此可得两个常用恒等式：logaabb；alogaNN.2.在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，
7、两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.【参考答案】【自主学习】一a0，且a1 思考1：xlog32.二10 lg_N e ln_N三没有 0 1思考2：由对数的定义：axN(a0且a1)，则总有N0，所以转化为对数式xlogaN时，不存在N0的情况四N b思考3：因为axN，所以xlogaN，代入axN可得aN.【小试牛刀】1.(1)(2)(3) (4)2.C 解析：log3x2，x329.【经典例题】例1 解：log3x；log64x；16；ex10.【跟踪训练】1 解(1)因为4364，所以log4643；(2)因为ln ab，所以eba；(3)因为n，所以lognm；(4)因为lg 1
8、 0003，所以1031 000.例2 解(1)由log2x，得2x，x.(2)由logx252，得x225.x0，且x1，x5.(3)由log5x22，得x252，x5.52250，(5)2250，x5或x5.【跟踪训练】2 (1)202 解析：设log981x，所以9x8192，故x2，即log9812；设log0.41x，所以0.4x10.40，故x0，即log0.410；设ln e2x，所以exe2，故x2，即ln e22.(2)解：由log64x得； 由logx86，得x68，又x0，即；由lg 100x，得10x100102，即x2；由ln e2x，得ln e2x，所以exe2，所
9、以x2，即x2.例3 (1) 0 解析：原式32031300.(2)4 解析： 9(9)34.【跟踪训练】3 解(1)因为log2(log3x)0，所以log3x1，所以x3. (2)由log2log3(log2x)1得log3(log2x)2，所以log2x32，所以x29512.【当堂达标】1. BCD 解析：只有符合a0，且a1，N0，才有axNxlogaN，故B错误由定义可知CD均错误只有A正确2.ABD 解析：对于A，A正确；对于B，B正确；对于C，C不正确；对于D，D正确.故选：ABD.3.D 解析：，.故选D.4. 解析由lg(2x3)1知2x310，解得x.5.解(1)由23可得log23；(2)由b得logba；(3)由lg 3可得103.6.解：(1)原式2102224.(2)原式.7.解：由题意得，由得x27x120.x3或x4.又由得x2且x3.x4.
