1、2.1实际问题中导数的意义 导数在物理学中的应用例1物体作自由落体运动，其方程为s(t)gt2.(其中位移单位：m，时间单位：s，g9.8 m/s2)(1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t2 s时的瞬时速度，并解释它的意义思路点拨(1)平均变化率为位移的变化量与相应的时间变化量的比值(2)瞬时速度为时间变化量趋于0时的平均变化率，或由导数的意义得t2 s时的瞬时速度，即s(t)在t2时的导数值精解详析(1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为9.8329.4(m/s)它表示物体从2 s
2、到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)s(t)gt，s(2)2g19.6(m/s)它表示物体在t2 s时的速度为19.6 m/s.一点通(1)函数yf(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数在x0处的函数值；(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)s(t)；(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)v(t)1某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s3tt2，求s(0)并解释它的实际意义解：s32t，s(0)3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3 m/s.2线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB
3、上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)，其单位为：勒克斯(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？(2)求I(5)并解释它的实际意义解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为0.005(勒克斯/米)，它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯(2)I(x)，I(x)8(2x3).I(5)0.112(勒克斯/米)它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米导数在日常生活中的应用例2东方机械厂生
4、产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)2x27 000x600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c(1 000)与c(1 500)，并说明它们的实际意义思路点拨(1)平均利润指平均每台所得利润；(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；(3)c(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润精解详析(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)21 00027 0001 0006005 000 600(元)，平均利润为5 000.6(元)(2)当产量由1
5、000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为2 000(元)(3)c(x)(2x27 000x600)4x7 000，c(1 000)41 0007 0003 000(元)c(1 500)41 5007 0001 000(元)c(1 000)3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元c(1 500)1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元一点通实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决3某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本
6、C与每天产量q之间的函数为C(q)2 000450q0.02q2.(1)写出收入函数；(2)写出利润函数；(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义解：设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)(1)收入函数为：R(q)490q.(2)利润函数为：L(q)R(q)C(q)490q(2 000450q0.02q2)2 00040q0.02q2.(3)利润函数的导数为：L(q)(2 00040q0.02q2)400.04q.利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量4某考生在参加2014年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：
7、分钟)近似地满足函数关系y2.(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；(2)求f(64)，f(100)，并解释它的实际意义解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：.它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题(2)f(x)，f(64)，f(100).它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题1要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义2实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度(3)生产成本关于产量的导数是边际成本(4)路程关于时间的导数是速度
8、速度关于时间的导数是加速度 1一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/s D.8 m/s解析：s(t)2t1，s(3)2315.答案：C2某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h100t2800t，则他在t2 h这一时刻的高度变化的速度是()A500 m/h B1 000 m/hC400 m/h D.1 200 m/h解析：h200t800，当t2 h时，h(2)2002800400(m/h)答案：C3圆的面积S关于半径r的函数是Sr2，那么在r3时面积的变化率是()A6
9、B9C9 D.6解析：S2r，S(3)236.答案：D4某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)t34t220t15，则s(1)的实际意义为()A汽车刹车后1 s内的位移B汽车刹车后1 s内的平均速度C汽车刹车后1 s时的瞬时速度D汽车刹车后1 s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度答案：C5正方形的周长y关于边长x的函数是y4x，则y_，其实际意义是_答案：4边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度6某汽车的路程函数是s2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，汽车的加
10、速度是_m/s2.解析：v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，a(2)1221014(m/s2)答案：147某厂生产某种产品x件的总成本c(x)120(元)(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c(200)，并解释它代表什么实际意义解：(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)540元变到c(220)626元此时总成本c关于产量x的平均变化率为4.3(元/件)，它表示产量从x200件变化到x220件时，平均每件的成本为4.3元(2)c(x)，于是c(200)44.1(元/件)它指的是当产量为200件时，每多
11、生产一件产品，需增加4.1元成本8江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x2 L，即与船相对于水的速度的平方成正比(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：yf(x)；(2)求f(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度船相对水的速度水速)解：(1)船的实际速度为(x6)km/h，故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为yf(x)(x6)(2)f(x)3，f(36)2.88，f(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加的速度为2.88 ，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.