1、第四章 指数函数与对数函数 课时4.3 对数 1.理解对数的概念,会进行对数式与指数式的互化.2.理解对数的运算性质和换底公式,能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.3.体会数学抽象的过程,加强对逻辑推理、数学运算素养的培养。基础过关练题组一对数的概念及其性质1.下列说法:只有正数有对数;任何一个指数式都可以化成对数式;以5为底25的对数等于2;3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为 ()A.0 B.1C.2 D.32.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为 ()A.a12,且a1 B.0a0,且a1 D.a0,且a1).(1)求am+2n的值;(2)若0x0,logxm=
2、24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为 ()A.160 B.60 C.2003 D.3206.计算:5-125log55-log37log79+log126+log122=.7.计算:log26-log23-3log312+14-12=.8.已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=bb,则a+b=.9.计算:lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.10.计算:(1)log3427+lg 25-5log574+lg 4;(2)2log32-log3329+log38-25log53.题组三对数运算的综合运用11.某高校为提升科研能力,计划逐年
3、加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) ()A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年12.lg 4+2lg 5=; 若loga2=m,loga3=n,则am+12n=.13.求值:(1)234162+lg1100-3log32;(2)(log25+log40.2)(log52-log250.5).答案全解全析基础过关练1.B对于,由对数的概念知,负数和0没有对数,故正确
4、;对于,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故错误;对于,以5为底25的对数等于2,故错误;对于,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故错误.故选B.2.B由题意知-2a+10,a0,a1,解得0a12.3.C由log2log3(log4x)=0,得log3(log4x)=1,log4x=3.从而x=43=64,故选C.4.A由log32=x得3x=2,因此9x=(3x)2=4,所以3x+9x=2+4=6,故选A.5.B对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,所以A中互化正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B中互化不正确;对于C,8-13=12可化为log812=-
5、13,所以C中互化正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D中互化正确.6.答案 2解析log39+log51=2+0=2.7.B(log23)2-4log23+4=(log23-2)2=2-log23,所以原式=2-log23+log23-1=2-2log23.8.答案-1解析lg 52+2lg 2-12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=1-2=-1.故答案为-1.9.答案13解析 log233log32=13log23log32=13lg3lg2lg2lg3=13.10.答案1解析原式=1-2log63+(log63)2+log663
6、log6(63)log64=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.11.答案11解析原式=eloge3+log51252+18-23=3+212log55+(2-3)-23=3+4+4=11.12.解析(1)原式=21+0+2=2+2=4.(2)原式=3log34-1+20=3log3431+1=43+1=73.13.B由题意知=0,即(-2)2-4lg(c2-b2)-2lg a+1=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg a2c2-b2=0,所以a2c2
7、-b2=1,所以a2+b2=c2,故ABC是直角三角形.14.答案2解析由3x=4y=6得x=log36,y=log46,2x+1y=2log36+1log46=2log63+log64=log6(324)=log636=2.15.答案1010解析由R=23(lg E-11.4),得32R+11.4=lg E,故E=1032R+11.4.设A地,B地地震释放的能量分别为E1,E2,则E1E2=10329+11.410328+11.4=1032=1010,即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的1010倍.16.解析(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=a
8、ma2n=322=12.(2)m+n=log32+1,loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,由0x1知x-x-10)两边取对数,可得a=log2m,b=log5m,1a=logm2,1b=logm5,所以1a+1b=logm2+logm5=logm10=2,可得m=10,故选A.3.答案433解析由a=log43,得4a=3,因此(2a)2=3,又2a0,故2a=3,因此2a+2-a=3+13=433.4.D由lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两个根,结合根与系数的关系得lg a+lg b=23
9、,lg alg b=-12,而lg ab2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg alg b=232-4-12=229,故选D.5.B依题意得logmx=124,logmy=140,logm(xyz)=112logmx+logmy+logmz=112.logmz=112-124-140=160.因此logzm=60,故选B.6.答案0解析原式=155log5512-log37log732+log1212=15512-2log37log73+1=1-2+1=0.解题模板对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底;二看真数,利用对数的运算法则将真数进行
10、适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值.7.答案52解析原式=log26-log23-12+(2-2)-12=log263-12+21=1-12+2=52.8.答案439解析由logab-3logab=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=1a.当b=a3时,aa=bb=(a3)a3=a3a3,则a=3a3,而a0,则a=33,b=39;当b=1a时,aa=bb=1a1a=a-1a,则a=-1a,而a0,所以无解,所以a+b=439.9.解析原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2=3lg 5+lg 2lg 5+2lg 2+(lg 2)2=
11、3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.10.解析(1)log3427+lg 25-5log574+lg 4=14log327+(lg 25+lg 4)-5log574=34+2-74=1.(2)原式=log34-log3329+log38-25log259=log349328-9=log39-9=2-9=-7.11.B设经过x(xN*)年,该校全年投入的科研经费超过2 000万元,依题意得1 300(1+0.12)x2 000,即1.12x2013,因此xlg2-lg1.3lg1.120.30-0.110.05=3.8,又xN*,故x
12、4,即从2023年起,该校全年投入的科研经费超过2 000万元,故选B.12.答案2;23解析lg 4+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2lg(25)=2lg 10=2.由loga2=m得am=2,由loga3=n得an=3,am+12n=am(an)12=2312=23.13.解析(1)234162+lg 1100-3log32=2122232-16+lg 10-2-2=2-2-2=-2.(2)(log25+log40.2)(log52-log250.5)=log25+12log20.2log52-12log50.5=log25+log215log52-log512=log25log522=lg 5lg2lg22lg5=12lg5lg232lg2lg5=34.
