1、-1-3 向量的坐标表示和空间向量基本定理-2-3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念,了解向量的数量积的几何意义.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向
2、上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a=xi+yj+zk,我们把a=xi+yj+zk叫作a的标准正交分解,把i,j,k叫作标准正交基.(x,y,z)叫作空间向量a的坐标,记作a=(x,y,z),a=(x,y,z)叫作向量a的坐标表示.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 2.空间向量的坐标表示在空间直角坐标系中,点 P 的坐标为(x,y,z),向量 的坐标也是(,).说明:给定一个空间直角坐标系和向量 a,其坐标向量为 i,j,k,若a=a1i+a2
3、j+a3k,则有序数组(a1,a2,a3)叫作向量 a 在此直角坐标系中的坐标,上式可简记为 a=(a1,a2,a3).在空间直角坐标系中,对于空间任一点 A,对应一个向量 ,若 =i+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点 A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x,y,z),其中 x 叫作点 A 的横坐标,y 叫作点 A 的纵坐标,z 叫作点 A 的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不可颠倒.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1-1】给出下列叙述:在空间直角坐标系中
4、,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0);在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c);在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c);在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标可写为(a,0,c).其中正确叙述的个数是()A.1B.2C.3D.4 解析:只有正确.答案:C ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做 1-2】已知 i,j,k 分别是空间直角坐标系中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向上的单位向量,且 =i+j-k,则点 B 的坐标是()
5、A.(-1,1,-1)B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1)D.不确定 解析:由 =i+j-k 只能确定向量 =1,1,1,而向量 的起点A 的坐标未知,故终点 B 的坐标不确定.答案:D ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 3.投影(1)设a=xi+yj+zk,那么ai=x,aj=y,ak=z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影,向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.(2)一般地,若b0为b的单位向量,称ab0=|a|cos为向量a在向量b上的投影.如图所示,向量a在向
6、量b上的投影为OM=|a|cos.说明:求向量a在向量b上的投影,应先求出|a|,再求出向量a与b的夹角,最后计算|a|cos,即为向量a在向量b上的投影,它可正、可负,也可以为零.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航【做一做 2】已知线段 AB 的长度为6 2,与直线的夹角为 120,则 在上的投影为()A.3 2 B.3 2C.3 6 D.3 6解析:在l 上的投影为|cos 120=-3 2.答案:B ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI
7、 TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型一向量的坐标表示【例 1】已知点 A 的坐标是(1,2,-1),且向量 与向量 关于坐标平面对称,向量 与向量 关于轴对称,求向量 和向量 .分析:从已知条件看,题设中已建立空间直角坐标系,因此欲确定向量,只需求出向量的坐标.从点关于平面及直线的对称点的特征入手,逐步找到点C和点B的坐标.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 解:如图所示,过点 A 作 AM平面 xOy 于 M,则直线 AM 过点
8、C,且 CM=AM,则点 C 的坐标为(1,2,1),即 =(1,2,1),该向量与 =(1,2,1)关于平面xOy 对称.过点 A 作 ANx 轴于点 N,则直线 AN 过点 B,且 BN=AN,则点B 的坐标为(1,-2,1),即 =(1,2,1),该向量与 关于x 轴对称.故 =(1,2,1),=(1,2,1).反思要注意点关于坐标轴(或坐标平面)的对称点的坐标的求法,记住一些常用结论.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二【变式训练 1】如图所示,在空间直角坐标系中,B
9、C=2,原点 O 是BC 的中点,点 D 在平面 yOz 上,且BDC=90,DCB=30.求向量 的坐标.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 解:由题意,知C(0,1,0).过点D作DEBC于点E.在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得 BD=1,CD=3,=sin 30=32,OE=OB-BE=OB-BDcos 60=112=12.则 0,-12,32 ,故向量 的坐标为 0,-12,32 .ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLI
10、AN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型二向量 a 在向量 b 上的投影【例 2】如图所示,已知单位正方体ABCD-ABCD.(1)求向量 在 上的投影;(2)求向量 在 上的投影.分析:|a|cos就是向量 a 在向量 b上的投影.解:(1)在 上的投影是|cosACD=|=1.(2)在 上的投影是|cos(ACD)=-|=1.反思求一个向量在另一个向量上的投影,一定要理解好投影的定义,同时要找对两个向量的夹角,这也是容易出错的地方.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI
11、典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二【变式训练 2】在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=5,DD1=3,点 P,Q 分别是棱 AA1,C1D1的中点,则向量 在11 上的投影为_.解析:如图,连接 PQ,PD1,则 QD1=52,所以 在11 上的投影是|cosPQD1=|1|=52.答案:52ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 51下列说法中不正确的是()A.只要空间的三个向量的模为1,那么它们就能构成空间的一个单位正交基底 B
12、.竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面 C.纵坐标为0的向量都共面 D.横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直 解析:单位正交基底除要求模为1外,还要求三个向量两两垂直.答案:A ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 52.下面表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为()A.1B.2C.3D.0 答案:C ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 则 =(,);1 2
13、 3 4 53.下列命题中,正确的命题是()在空间直角坐标系中,点P为(x,y,z),ab的几何意义是a在b方向上的投影与|b|的乘积;ab的几何意义是b在a方向上的投影与|a|的乘积.A.B.C.D.答案:D ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 54.已知点A在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底i,j,k下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:设
14、点A在基底a,b,c下对应的向量为p,则p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+10k,故点A在基底i,j,k下的坐标为(12,14,10).答案:A ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 55.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为正方形ABCD的中心,建立适当的空间直角坐标系,分析:在本题中要选择适当的点为原点,适当的轴为坐标轴建立空间直角坐标系,然后再根据向量的坐标表示方法,找出所求向量的起点、终点坐标即可.求向量1 ,的坐标.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 5解:如图所示,设正方体的棱长为 1,=e1,=e2,1 =e3,以e1,e2,e3为坐标向量建立空间直角坐标系.1 =1 =+1 12(+)=+1 12 12 =12 1 12 2+e3,1 =12,-12,1.又 =+=+12 1 =1+12 3,=-1,0,12.综上所述,1 =12,-12,1,=-1,0,12.
