1、第2课时 利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式 1.掌握公式sin2+cos2=1及tan=2.能灵活运用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式.sincos1 2 1.化简三角函数式化简的要求:(1)能求出值的应求出值;(2)尽量使三角函数的种数少;(3)尽量使项数少;(4)尽量使分母不含三角函数;(5)尽量使被开方数(式)不含三角函数.常用的思想方法有:异次化同次、高次化低次、化弦为切或化切为弦、特殊角的三角函数值与特殊值的互化等.1 2【做一做 1】化简 1-2sin10cos10sin10-1-sin210=_.解析:1-2sin10cos10sin10-1-sin210
2、=(cos10-sin10)2sin10-cos210=|cos10-sin10|sin10-cos10=cos10-sin10sin10-cos10=1.答案:-1 1 2 2.证明三角恒等式证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明方法常有以下几种:(1)从等式的一边证明它的另一边,一般从比较复杂的一边开始,化简到另一边,其依据是等式的传递性.(2)综合法:由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式,其依据是等价转化的思想.(3)证明等式的左、右两边都等于同一个式子(或值),其依据是等式的传递性,即“若a=c,b=c,则a=b”.(4)作差法或作商法:证明
3、“左边-右边=0”或“=1(右边0)”.同一个问题可以采用不同的方法进行证明,在证明过程中要根据题目的结构特征,选择适当的方法.左边右边1 2【做一做 2】求证:1+2sin cos cos2-sin2=1+tan 1-tan .证明:左边=sin2+cos2+2sin cos(cos+sin)(cos-sin)=(sin+cos)2(cos+sin)(cos-sin)=cos+sincos-sin=cos+sin cos cos-sin cos(cos 0,分子、分母可同时除以 cos)=1+tan 1-tan =右边,1+2sincoscos2-sin2=1+tan1-tan.题型一 题型
4、二 题型三 题型四 题型一三角函数式的化简【例 1】化简:1-cos4-sin41-cos6-sin6.解(方法一)原式=(co s2+sin2)2-co s4-sin4(co s2+sin2)3-co s6-sin6=2cos2sin23cos2sin2(cos2+sin2)=23.(方法二)原式=1-(co s4+sin4)1-(co s6+sin6)=1-(cos2+sin2)2-2cos2sin21-(cos2+sin2)(cos4-cos2sin2+sin4)=1-1+2cos2sin21-(cos2+sin2)2-3cos2sin2=2cos2sin23cos2sin2=23.题型
5、一 题型二 题型三 题型四(方法三)原式=(1-co s2)(1+co s2)-si n4(1-co s2)(1+co s2+co s4)-sin6=sin2(1+cos2-sin2)sin2(1+cos2+cos4-sin4)=2cos21+cos2+(cos2+sin2)(cos2-sin2)=2cos21+cos2+cos2-sin2=2cos23cos2=23.反思当三角函数式中函数次数较高时,可通过降幂来化简.若式子中只含正弦和余弦,化简时常考虑平方关系:sin2+cos2=1.题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】化简:1-cos1+cos+1+cos1-cos 2 .解
6、1-cos1+cos+1+cos1-cos=(1-cos)2(1+cos)(1-cos)+(1+cos)2(1-cos)(1+cos)=1-cos+1+cos|sin|=2|sin|.2 0.由(1)知 sin cos=1225 0,cos 0,sin-cos=(sin-cos)2=1-2sincos=1+2425=75.【例 3】已知 sin+cos=15,(0,),求下列各式的值:(1)sin cos;(2)sin-cos;(3)sin2-cos2;(4)tan.题型一 题型二 题型三 题型四(3)sin2-cos2=(sin+cos)(sin-cos)=15 75=725.(4)由 si
7、n+cos=15,sin-cos=75,得 sin=45,cos=-35,则tan=43.题型一 题型二 题型三 题型四(方法二)由 sin+cos=15,sin2+cos2=1,消去 cos,得 sin215 sin 1225=0,sin-45 sin+35=0,sin=45 或sin=35.00,sin=45.代入 sin+cos=15,得cos=35.故 tan=43.题型一 题型二 题型三 题型四 反思已知sin+cos,sin-cos,sin cos 三个式子中一个式子的值,借助sin2+cos2=1,可得(sin+cos)2=1+2sin cos,(sin-cos)2=1-2sin
8、 cos,使之相互转化,可求其余两个式子的值及sin,cos 的值.在开方时,要注意符号的确定,即根据角的范围确定sincos 的正负.题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 3】(1)已知 sin cos=18 4 2,则 cos sin 的值等于()A.32 B.32 C.34 D.34(2)已知 sin+cos=43,0,4,则 sin cos 的值为()A.23 B.23 C.13 D.13答案:(1)B(2)B 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易错辨析易错点 忽略角的范围而致误【例 4】在ABC 中,sin A+cos A=22,求 tan 的值.错解sin A+cos A=
9、22,(sin A+cos A)2=12,2sin Acos A=12,1-2sin Acos A=32,(sin A-cos A)2=32,sin A-cos A=62.题型一 题型二 题型三 题型四 由,得 sin=6+24,cos=2-64或 sin=2-64,cos=2+64.tan A=sincos=6+244 2-6=2 3,或 tan A=sincos=2-644 6+2=3 2.错因分析上述解法忽略了ABC 中角 A 的范围,造成了“sinA+cos A”与“sin Acos A”及“sin A-cos A”间的互化不等价,从而增加了一个错解.事实上,由 2sin Acos A
10、=12 0,可知A 2,从而有cosA0,故有 sin A-cos A=62.题型一 题型二 题型三 题型四 正解sin A+cos A=22,(sin A+cos A)2=12,2sin Acos A=12.又 0A,2 0,cos A0,sin A-cos A=(sin-cos)2=1-2sincos=62.由,得 sin=2+64,cos=2-64,tan A=sincos=2 3.1 2 3 4 1.化简 sin21+sin22+sin23+sin289的结果是()A.89B.892C.45D.452答案:B 解析:sin 1=cos 89,sin 2=cos 88,sin 89=co
11、s 1,设 cos289+cos288+cos22+cos21=t,则 2t=89,解得 t=892.1 2 3 4 2.已知 cos-sin=12,则 sin cos 的值为()A.38 B.38C.34 D.34解析:由已知得(cos-sin)2=sin2+cos2-2sin cos=1-2sin cos=14,解得sin cos=38.答案:A 1 2 3 4 3.化简:1-2sin40cos40cos40-1-sin250=_.解析:1-2sin40cos40=(sin40-cos40)2=cos 40-sin40,1-sin250=cos 50=sin 40,原式=cos40-sin40cos40-sin40=1.答案:1 1 2 3 4 4.化简:sin2+sin2-sin2sin2+cos2cos2=.解析:原式=sin2(1-sin2)+sin2+cos2cos2=sin2cos2+sin2+cos2cos2=cos2(sin2+cos2)+sin2=cos2+sin2=1.答案:1