1、第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系 学 习 目 标1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sincos tan.(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式(难点)核 心 素 养 1.通过学习同角三角函数基本关系式，提升数学抽象素养2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养自 主 预 习 探 新 知 同角三角函数基本关系式(1)关系式平方关系：sin2cos2_；商数关系：sincos _(2)文字叙述同一个角 的正弦、余弦的_等于 1，商等于角 的_1tan 平方和正切(3)变形形式1sin2cos2；s
2、in2_；cos2_；sin_；cos_；sincos tan；(sin cos)2_1cos21sin2 1cos2 1sin212sin cos 思考：sin230cos245等于1吗？sin90cos 90有意义吗？提示 不等于1，sin 90cos 90分母为0，无意义C 因为sin 45，且是第三象限角所以cos 1sin235.所以tansin cos 43.1已知sin 45，是第三象限角，则tan 等于()A34 B34 C43 D4313 因为3sin cos 0，所以cos 3sin，所以tan sin cos sin 3sin 13.2已知3sin cos 0，则tan
3、_0或8 由sin2cos21得，m0或8.3已知sin m3m5，cos 42mm5，则m_D 原式sin xcos xcos xsin x cos2xsin2xcos2xsinx cos x cos2xcosxsin x.4.tanxcos xsin x cos2x()AtanxBsin xCcos xDcos xsin x合 作 探 究 释 疑 难 利用同角基本关系式求值【例1】已知cos 817，求sin，tan 的值解 cos 8170，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin 1cos21 81721517，tan sin cos 1517 817158.如果是第三象限角，
4、同理可得sin 1cos21517，tan158.已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系另外也要注意“1”的代换，如“1sin2cos2”本题没有指出是第几象限的角，则必须由cos的值推断出所在的象限，再分类求解1已知tan 43且为第三象限角，求sin，cos 的值解 由tan sin cos 43，得sin 43cos.又sin2cos21，由得169 cos2cos21，即cos2 925，又是第三象限角，cos35，sin 45.利用sin cos，sin ，cos 之间的关系求值【例2】已知0，sin cos 15，
5、求tan 的值解 由sin cos 15，得sin cos 12250，又00，cos 0，sin cos（sin cos）2 12sin cos 121225 75，由解得sin 45，cos 35，tan sin cos 43.sin cos，sin cos，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos)212sin cos，利用此关系求sin cos 或sin cos 的值时，要注意判断它们的符号2sin cos 18，且42，则cos sin 的值为()A 32 B 32C34D34B(cos sin)2sin22sinc
6、os cos2121834，cossin 32.又4cos，cos sin 32.利用同角三角函数关系化简、证明探究问题1平方关系对任意R均成立，对吗？商数关系呢？提示 平方关系中对任意R均成立，而商数关系中k2(kZ).2证明三角恒等式常用哪些技巧？提示 切弦互化，整体代换，“1”的代换3证明三角恒等式应遵循什么样的原则？提示 由繁到简【例3】(1)化简tan 1sin21，其中是第二象限角；(2)求证：12sincos sin2cos2 tan1tan 1.思路探究(1)先确定sin，cos 的符号，结合平方关系和商数关系化简(2)逆用平方关系结合tan sin cos 化简解(1)因为是
7、第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan 1sin21tan1sin2sin2tancos2sin2 sincos cos sin sin cos cos sin 1.(2)证明：左边sin2cos22sincos sin2cos2（sincos）2sin2cos2sincos sin cos tan 1tan 1右边所以原式成立1将例3(1)变为“cos 36 1cos23612sin36cos 36”，试对该式进行化简解 原式cos 36 sin236sin236cos2362sin36cos 36cos 36sin 36（cos 36sin 36）2 cos 36sin 36|c
8、os 36sin 36|cos 36sin 36cos 36sin 361.2将例3(2)变为试证“tan sin tan sin 1cos sin”证明 左边sin2cossin cos sin sin2sinsin cos 1cos2sin（1cos）1cos sin 右边，所以等式成立1化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2证明三角恒
9、等式常用的方法有：(1)从一边开始，证得它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式课 堂 小 结 提 素 养 1“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关如：sin23cos231等2已知角的一个三角函数值，求的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号3计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换为了解题的需要，有时可以将1用“sin2cos2”代替(2)切化弦利用商数关系把切函数化为弦函数(3)整体代换将计算式适当变形使条件可以整体
10、代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin2cos21.()(2)对任意角，sin2cos 2tan 2.()(3)利用平方关系求sin 或cos 时，会得到正负两个值()(4)若sin 12，则cos 32.()答案(1)(2)(3)(4)A 为第二象限角，sin 45，cos 35，tan 43.2若sin 45，且是第二象限角，则tan 的值等于()A43 B34C34D433已知角A是三角形的一个内角，sin Acos A23，则这个三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形B sin Acos A23，12sin A cos A49，sin A cos A 5180，cos A0，A为钝角故选B.4已知4sin 2cos 3sin 5cos 611，求下列各式的值(1)5cos2sin22sincos 3cos2；(2)14sincos 2cos2.解 由已知4sin2cos 3sin 5cos 611，4tan 23tan 5 611，解得tan 2.(1)原式5tan22tan3551.(2)原式sin24sincos 3cos2sin24sincos 3cos2sin2cos2tan24tan31tan215.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
