1、4.2 第1课时 指数函数及其性质 【学习目标】课程标准学科素养1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】1.指数函数的定义一般地，函数 (a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定yax中a0，且a1的理由：当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值.因此规定yax中a0，且a1.（2）要注意指数函数的解析式：底数是大于0且不等于1的常数.指数函数的自变量必须位于指数的位置上.a
2、x的系数必须为1.指数函数等号右边不能是多项式，如y2x1不是指数函数.2.指数函数的图象和性质指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质如下表：a10a0时， ；当x0时， ；当x0)是指数函数.( )（2）yax2(a0且a1)是指数函数.( )（3）因为a01(a0且a1)，所以yax恒过点(0,1).( )（4）yax(a0且a1)的最小值为0.( )2.函数y2x的图象是()【经典例题】题型一指数函数的概念判断一个函数是指数函数的方法(1)形式：只需判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征.(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指
3、数函数.例1下列函数中是指数函数的是_.(填序号)y2()x；y2x1；yx；y ；y .跟踪训练 1 （1）函数f(x)(m2m1)ax(a0，且a1)是指数函数，则m_.（2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)()A.()x B.2x C. D.题型二指数函数图象(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.例2 (1) 函数f(x)ax12(a0且a1)的图象恒过定点_.(2)已知函数y3x的
4、图象，怎样变换得到yx12的图象？并画出相应图象.跟踪训练 2 (1)已知函数f(x)4ax1(a0，且a1)的图象经过定点P，则点P的坐标是()A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)(2)函数y2|x|的图象是()题型三指数型函数的定义域、值域指数型函数yaf(x)的定义域、值域的求法(1)定义域：函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同.(2)值域：换元，tf(x). 求tf(x)的定义域为xD.求tf(x)的值域为tM. 利用yat的单调性求yat，tM的值域.例3(1)函数f(x)的定义域为()A.(3，0 B.(3，1C.(，3)(3，0 D.(，3)
5、(3，1（2）当x2，2)时，y3x1的值域是()A. B. C. D.跟踪训练 3 求函数y4x2x1的定义域、值域.【当堂达标】1.给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A.0 B.1 C.2 D.42.已知函数f(x)2x，则f(1x)的图象为()3若函数f(x)是指数函数，且f(2)9，则f(2)_，f(1)_.4.函数f(x)2ax11的图象恒过定点_.5.函数y4x2x11的值域为_. 6求函数yx22x3.的定义域、值域：【参考答案】【自主学习】1.yax 2.(0,1) 0 y1 0y1 0y1 增函数 减函数 【小试牛刀】1.
6、 2. B 解析y2x是(，)上的单调递减函数，故选B.【经典例题】例1 解析 中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x12x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填.跟踪训练 1 (1)解析函数f(x)(m2m1)ax是指数函数，m2m11，解得m0或1.（2）A 解析由题意，设f(x)ax(a0且a1)，则由f(2)a22，得a，所以f(x)()x.例2 （1）解析令x10，则x1，f(1)a021，则f(x)的图象恒过点(1，1).（2）解yx123(x1)2.作函数y3x的图象关于y轴的
7、对称图象得函数y3x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y3(x1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y3(x1)2x12的图象，如图所示.跟踪训练 2 (1)A解析当x10，即x1时，ax1a01，为常数，此时f(x)415.即点P的坐标为(1,5).(2) B 解析 y2|x|故选B.例3 (1) A 解析 由题意得自变量x应满足解得3x0.（2） A 解析y3x1，x2，2)是减函数，321y321，即0，当2x，即x1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，值域为.【当堂达标】1. B 中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是
8、指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数20，不是指数函数.2.B 解析f(1x)21x是减函数，故排除选项C，D，又当x0时，2，排除A，故选B.3. 3 解析 设f(x)ax(a0，且a1)，f(2)9，a29，a3，即f(x)3x.f(2)32，f(1)3.4. (1，3) 解析令x10，得x1，f(1)2113，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).5. (1，) 解析函数的定义域为R，又y4x2x11(2x)222x1(2x1)2，易知2x0，故y1，即函数的值域为(1，).6.解定义域为R.x22x3(x1)244，x22x3416.又x22x30，函数yx22x3的值域为(0,16
