1、-1-3 反证法ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.了解间接证明的一种基本方法反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.会用反证法证明一些数学命题.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.反证法的定义(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾
2、,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.(2)反证法是一种间接证明的方法.【做一做1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列作为条件使用的是()与结论相反的判断,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.A.B.C.D.答案:C ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 2.反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.【做一做2】已知结论a,b,c不全为零,若用反证法证明时,应
3、假设()A.a=b=c=0 B.a,b,c中至少有一个为零 C.a,b,c中只有一个为零 D.a,b,c中至少有一个不为零 解析:因为a,b,c不全为零,即a,b,c中至少有一个不为零,所以应假设a,b,c均为零,即a=b=c=0.答案:A ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一用反证法证明否定型问题【例 1】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1+2,3=9+3 2.(1)求数列an的通项 an与前 n 项和 Sn;(2)设 bn=(N+),
4、求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解:由已知得 1=2+1,31+3=9+3 2,解得 d=2.故 an=2n-1+2,=(+2).ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 即(p-r)2=0.所以p=r,与pr矛盾.故数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(2)证明:由(1),得 bn=+2.假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则2=,故(+2)2=(+2)(+2),即(q2-pr)+2(2 )
5、=0.因为 p,q,rN+,得 2-=0,2-=0,即 +2 2=,ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.对结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如,证明直线异面,可以假设直线共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.2.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.ZHISHI SHULI知识梳理
6、 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】已知函数 f(x)=ax+-2+1(1).用反证法证明方程()=0 没有负数根.证法一:假设存在 x00(x0-1),满足 f(x0)=0,则0=0-20+1,且0 0 1,所以 0 0-20+1 1,即 12 0 2,与假设x00 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型
7、四 证法二:假设存在 x00(x0-1),满足 f(x0)=0.若-1x00,则 0-20+1 2,0 1,故 f(x0)-1,与 f(x0)=0 矛盾;若 x0 0,0 0,故 f(x0)0,与 f(x0)=0 矛盾.综上所述,方程 f(x)=0 没有负数根.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二用反证法证明“至多”“至少”型命题证明:假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,得a+b+c0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
8、-3-30,即a+b+c0,与a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于0.反思1.对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接从条件推证,分情况较多,过程较烦琐,不易证明,则可考虑用反证法证明.2.注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.【例 2】已知 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+2,=2 2+3,=2 2+6.求证:,中至少有一个大于 0.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【
9、变式训练 2】已知 x,y 都是正实数,且 x+y2,求证:1+2 与1+2 中至少有一个成立.证明:假设1+2 和1+0,y0,所以1+x2y,且1+y2x,两式相加,得2+x+y2x+2y,即x+y2,与已知条件x+y2相矛盾.故1+2 与1+2 中至少有一个成立.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三用反证法证明“唯一”型命题【例3】已知点A和平面.求证:经过点A有且只有一条直线和平面垂直.证明:根据点A和平面的位置关系,分两种情况证明.(1)如图
10、,若点A在平面内,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB,AC,则AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面,且平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面,AC平面,且a,所以ABa,ACa,在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直,这和平面几何中经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)如图,若点A在平面外,假设经过点A至少有平面的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),则AB,AC是两条相交直线,它们确
11、定一个平面,平面和平面相交于直线BC.因为AB平面,AC平面,且BC,所以ABBC,ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直,这和平面几何中经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾.综合(1)(2),知经过点A有且只有一条直线和平面垂直.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证明“唯一”型命题比较简单.2.证明“有且只有一个”的问题,需要
12、证明两个方面,即存在性和唯一性.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练3】用反证法证明:过已知直线a外一点A,有且只有一条直线b与已知直线a平行.解:假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行,即bb=A,ba.因为ba,所以由平行公理知bb.与bb=A矛盾,即假设不成立.故过已知直线a外一点A,有且只有一条直线b与已知直线a平行.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAO
13、HANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易错辨析 易错点:否定命题的结论不正确而致错【例4】已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中,至少有一个方程有两个相异实根.错解:假设三个方程都没有两个相异实根,并设判别式依次为1,2,3,则1=4b2-4ac0,2=4c2-4ab0,3=4a2-4bc0,三式相加,得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a20,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,此不等式不成立,故假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.错因分析:上
14、面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根时,的取值为180,这与三角形内角和为180矛盾,故假设错误.所以一个三角形中不可能有两个直角.假设ABC中有两个直角,不妨设A=90,B=90.上述步骤的正确顺序为.(只填序号)答案:ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 54已知a是整数,a2是偶数,求证:a是偶数.证明:假设a不是偶数.a是整数,a是奇数.设a=2m+1(mZ),则a2=(2m+1)2=4m2+4m+1.4m2+4m=4m(m+1)是偶数,4m2+4m+1是奇数,即a2是奇数,这与已知矛盾.a是偶数.ZHISHI SHULI知识梳理 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 4 55 若 a,b,c 都是正数,求证:三个数 a+1,+1,+1至少有一个不小于 2.证明:假设 a+1,+1,+1 均小于2,即 a+1+1+1 0,b0,c0,则 +1+1+1=+1+1+1 2+2+2=6,当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立,与假设矛盾.故 a+1,+1,+1 中至少有一个不小于2.
