1、5.2 对数函数y=log2x的图像和性质 1.会画函数y=log2x的图像.2.能应用函数y=log2x的性质解决问题.函数y=log2x的图像与性质 图 像 图像特征 性 质 过点(1,0)当 x=1 时,y=0 函数图像都在 y 轴右侧 零和负数没有对数(定义域为(0,+)当 x1 时,图像位于 x 轴上方;当0 x1 时,y0;当 0 x1 时,y0,则m的取值范围是()A.(0,+)B.(0,1)C.(1,+)D.R 答案:C【做一做2】已知函数f(x)=log2x,则()A.f(3)0,f 13 0,f 13 0C.f(3)0D.f(3)0,f 13 1,0130,f 13 1时,
2、则()A.y0 C.y=0 D.y的符号不确定(2)已知f(x)=log2x,若f(a)f(2),则实数a的取值范围是 .分析:当x1时,函数y=log2x的图像是上升的且在x轴上方.解析:(1)因为当x1时,函数y=log2x的图像是上升的,故y=log2xlog21=0.故选B.(2)函数f(x)=log2x的图像如图.因为f(x)=log2x在定义域内是增函数,若f(a)f(2),即log2alog22,则a2.所以a的取值范围为(2,+).答案:(1)B(2)(2,+)题型一 题型二 反思1.与对数函数y=log2x有关的图像的画法:列表、描点、连线.2.利用图像特征解题,图像要画准确
3、.题型一 题型二【变式训练1】函数的图像与函数g(x)=log2x图像交点的个数是()A.1B.2C.3D.4 解析:在同一平面直角坐标系中,分别画出函数f(x)与g(x)的图像,如图.由图像可知,f(x)与g(x)有三个交点.答案:C f(x)=4-4,1,2-4+3,1题型一 题型二 题型二对数函数y=log2x性质的应用【例2】(1)求y=log2(2x-1)在区间2,14上的最值;(2)解关于x的不等式:log2(2x-3)log2(3-x).分析:(1)可先依据x的取值范围求出2x-1的取值范围,再借助函数y=log2x的单调性求其最值.(2)由函数y=log2x的单调性得出真数的大
4、小关系即可求解.解:(1)因为2x14,所以32x-127.因为y=log2x在定义域内是增函数,所以log23log2(2x-1)log227=3log23.所以函数y=log2(2x-1)在区间2,14上的最小值为log23,最大值为3log23.题型一 题型二(2)由题意知,2-3 0,3-0,2-3 3-,所以 32,2.所以2x3.故不等式的解集为(2,3).反思1.求闭区间上的最值问题,要先确定函数的定义域,再根据函数的单调性求解.2.对数不等式求解的关键是将其对数符号去掉,等价转化为不等式组求解.题型一 题型二【变式训练2】(1)函数y=log2x在区间1,2上的值域是()A.R
5、B.0,+)C.(-,1D.0,1(2)解不等式:0log2(2x-3)1.(1)解析:因为y=log2x在区间(0,+)上是增加的,所以y=log2x在区间1,2上是增加的.所以ymin=log21=0,ymax=log22=1.所以函数y=log2x在区间1,2上的值域为0,1.答案:D(2)解:由题意知,log21log2(2x-3)log22,12x-32,42x5,即 2x0),则f(3)=()A.8B.128C.256D.512 解析:令log2x=3,则x=8,所以f(3)=28=256.答案:C 1234562函数y=|log2x|的图像是()解析:函数y=|log2x|的图像
6、过点(1,0),且函数值非负,故选B.答案:B 1234563函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()A.(0,+)B.0,+)C.(1,+)D.1,+)解析:3x0,3x+11.log2(3x+1)log21=0.答案:A 1234564已知函数f(x)=log2x+4x,则f(1)=.解析:f(1)=log21+41=0+4=4.答案:4 1234565函数的定义域为 .解析:由log2(x-1)0,得x-11,解得x2.答案:2,+)f(x)=log2(-1)1234566求函数f(x)=log2(x2-2x-8)的递增区间.解:由x2-2x-80,得x4.y=x2-2x-8在区间(-,-2)上是减少的,在区间(4,+)上是增加的,y=log2x在区间(0,+)上是增加的,f(x)的递增区间为(4,+).