1、第二章 解析几何初步2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1掌握方程 x2y2DxEyF0 表示圆的条件2能熟练进行一般方程与标准方程的互化.1将圆心为 C(a，b)，半径是 r 的圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 展开得：x2y22ax2bya2b2r20.令2aD，2bE，a2b2r2F，则任何一个圆的方程都可表示为：x2y2DxEyF0.配方得：x_ 2y_ 2_.(1)当 D2E24F0 时，方程表示以_为圆心、12D2E24F为半径的圆D2D2E24F4E2D2，E2(2)当_时，方程表示一个点_.(3)当_时，方程不表示任何图形D2
2、E24F0D2E24F0D2，E2练一练(1)圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则圆心坐标为()A(1，1)B12，1C(1,2)D12，1解析：圆的方程为 x2y2x2y100.圆心坐标为12，1.答案：D2当_时，方程 x2y2DxEyF0 表示一个圆，我们把这个方程称为圆的一般方程D2E24F0练一练(2)方程 x2y22axbyc0 表示圆心为(2,3)，半径为 3 的圆，则 a，b，c 的值依次是_解析：方程 x2y22axbyc0，配方得(xa)2yb22a2b24 c.由题意得a2，b23，a2，b6.ra2b24 c 49c3，c4.答案：2,6,41圆的一般方程在
3、形式上有什么特点？答：(1)x2 与 y2 系数相等且不为 0；(2)没有 xy 项2二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆必须具备哪些条件？答：(1)AC0；(2)B0；(3)D2E24AF0.典例精析 规律总结课堂互动探究 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27x50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)x2y24x2y50.【解】(1)x2 与 y2 系数不相等，方程不表示圆(2)含 xy 项，方程不表示圆(3)(2)2(4)2410200，此方程不表示圆(4)(4)2(2)24(5)0，此方程表示圆，圆心坐标(2,1
4、)，半径 r 402 10.【规律总结】判断形如 x2y2DxEyF0 的方程是否表示圆，只需计算 D2E24F，若此结果为正数，则方程表示以D2，E2 为圆心，12 D2E24F为半径的圆，否则不表示圆 判断方程 x2y24mx2my20m200 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径解：由方程可知，D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，当 m2 时，它表示一个点当 m2 时，原方程表示圆的方程，此时圆心为(2m，m)，半径 r12 D2E24F 5|m2|.已知ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC 的外接圆方程
5、，外心坐标和外接圆半径【解】解法一：设三角形 ABC 的外接圆方程为 x2y2DxEyF0，有116D4EF0，492D3EF0，16254D5EF0，解得 D2，E2，F23，三角形 ABC 的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225，外心坐标为(1，1)，外接圆半径为 5.解法二：由题意可得 kAB13，kAC3，知三角形 ABC 为直角三角形，故外心是斜边即线段 BC 的中点(1，1)，半径为12|BC|122423525，外接圆的方程为(x1)2(y1)225，即 x2y22x2y230.【规律总结】若已知圆上三点，求圆的方程，可设出圆的一般方程，利用“待定系数法
6、”，求出 D，E，F 即可也可以考虑圆的几何性质，利用性质分别求出圆心和半径，再写出圆的方程 已知一个圆过 P(4,2)，Q(1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为 4 3，求圆的方程解：设圆的方程为 x2y2DxEyF0.令 x0，得 y2EyF0.由已知|y1y2|4 3，其中 y1，y2 是方程 y2EyF0 的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.将 P，Q 两点的坐标分别代入方程，得4D2EF20，D3EF10.解联立的方程组，得D2，E0，F12或D10625，E565，F48425.故圆的方程为 x2y22x120 或 x2y210625 x565 y4
7、84250.如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面 2 m，水面宽 12 m，当水面下降 1 m 后，水面宽多少米？【解】以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系，设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A，B，则由已知得 A(6，2)，B(6，2)，设圆拱所在的圆的方程为 x2y2DxEyF0，原点在圆周上，F0，另外点 A，点 B 在圆周上，406D2E0，406D2E0，D0，E20，圆的方程为 x2y220y0.当水面下降 1 m 后，可设点 A的坐标为(x0，3)(x00)，如图所示，将 A的坐标(x0，3)代入圆的方程，求得 x0 51，所以，水面
8、下降 1 m 后，水面宽为 2x02 51 m.【规律总结】利用圆的方程解决实际问题时，关键是建立合适的坐标系，把实际问题抽象为数学问题，借助解析法可取得简便、精确的效果 如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图，该圆拱跨度 AB20 m，拱高 OP4 m，在建造时每隔 4 m 需用一支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度？解：建立坐标系如图所示，圆心在 y 轴上，则 P(0,4)，B(10,0)设圆心坐标为(0，b)，半径为 r，则圆的方程为 x2(yb)2r2.P，B 在圆上，024b2r2，1020b2r2.解得 b10.5，r214.52.又点 P2 的横坐标为2，代入圆的方程得(2)2(y10.5
9、)214.52.而点 P2 的纵坐标 y0，故 y10.514.524，y14.3610.53.86(m)，支柱 A2P2 的长度约为 3.86 m.已知定点 A(a,2)在圆 x2y22ax3ya2a0 外，求 a 的取值范围【错解】A(a,2)在圆外，a2222a232a2a0，解得 a2.【错因分析】对圆的一般方程的定义理解不深，对于二元二次方程 x2y2DxEyF0，只有当 D2E24F0 时才表示圆【正解】点 A(a,2)在圆外，a2222a232a2a0，2a2324a2a0，化简得a2，a94，即 2a94，a 的取值范围是2，94.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 圆的一
10、般方程的概念1圆 x2y24x0 的圆心坐标和半径分别是()A(2,0)，2 B(2,0)，4C(2,0)，2 D(2,0)，4答案：A2若方程 x2y24x2y5k0 表示圆，则 k 的取值范围是()Ak1 Bk0，解得 k1.答案：B3已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：由题可得 a2a2，解得 a1 或 a2.当 a1时，方程为 x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为 5.当 a2 时，方程不表示圆答案：(2，4)5知识点二 求圆的一般方程4(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F0，11DEF0，402DF0，解得D2，E0，F0，则圆的方程为 x2y22x0.答案：x2y22x05圆心在直线 3x2y0 上，并且与 x 轴交于 A(2,0)，B(6,0)两点的圆的一般方程是_解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，其圆心 CD2，E2，由题意得3D2 2E2 0，222DF0，626DF0，解得D4，E6，F12.所求圆的方程为 x2y24x6y120.答案：x2y24x6y120word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
