1、第二章 解析几何初步3 空间直角坐标系3.3 空间两点间的距离公式自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1掌握长方体的对角线长公式2通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式3掌握空间两点间的距离公式.1长方体的对角线连 接 长 方 体 两 个 顶 点A，C 的 线 段AC 称 为_(如图)长方体的对角线2长方体对角线长如果长方体的长，宽，高分别为 a，b，c，那么对角线长_.3空间一点到原点的距离P(x0，y0，z0)为空间任意一点，则它到原点的距离|OP|_.da2b2c2x20y20z20练一练(1)点 A(1,1,1)到坐标原点的距
2、离为()A1 B2 C 3 D3解析：|OA|121212 3.答案：C4空间两点间的距离空间任意两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 A，B 两点间的距离为：|AB|_.这就是空间两点间的距离公式x1x22y1y22z1z22练一练(2)已知点 A(1,0,1)，B(0，2,1)，则线段 AB 的长为()A5 B 5C 3D 6解析：|AB|102022112 5.答案：B学习空间两点间的距离公式应注意什么问题？答：1.空间两点间的距离公式同平面内两点间的距离公式形式上类似，可类比记忆2公式中 x1 与 x2，y1 与 y2，z1 与 z2 的位置可互换3空间两点间的距离
3、与坐标系的建立无关，但建立恰当的坐标系，会使运算简便典例精析 规律总结课堂互动探究 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD2，AA14，点 M 在A1C1 上|MC1|2|A1M|点 N 在 D1C 上且为 D1C 的中点求 M，N 两点间的距离【解】以 A 为坐标原点，AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.由已知条件可得|A1C1|2 2，由|MC1|2|A1M|可得|A1M|2 23，则 M23，23，4，由 C(2,2,0)，D1(0,2,4)得 D1C 中点 N(1,2,2)|MN|231 2232 2422 533.【规律
4、总结】建立恰当的坐标系可使后续计算简单，应准确求出所需各点的坐标，利用两点间距离公式求解 如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1 中，OA3，AB4，OO13，BC1 与 B1C 交于点 P.(1)求 AC1 的长；(2)求 OP 的长解：(1)OA3，A 在 x 轴上，A(3,0,0)C1 在平面 yOz 内，且 OC4，OO13，C1(0,4,3)|AC1|302042032 34.(2)B1(3,4,3)，C(0,4,0)，P 是 B1C 的中点，P32，4，32.|OP|32242322 822.在 xOy 平面内的直线 xy10 上确定一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最
5、小，并求出最小值【解】M 在 xOy 平面内的直线 xy10 上，设 M(x,1x,0)，则|MN|x621x520122x1251，当 x1 时|MN|最小值为 51，此时 M(1,0,0)【规律总结】解决此类问题关键是根据已知条件，合理设出所求点的坐标，再利用两点间距离公式转化为函数问题求解 已知点 A(3,1,2)，B(4，2，2)，C(0,5,1)，点 P 在 yOz 平面上，且点 P 与点 A，B，C 的距离相等，求点 P的坐标解：由于点 P 在 yOz 平面上，则可设 P(0，y，z)，由题意得|PA|PC|，|PB|PC|，所以 032y12z22002y52z12，042y22
6、z22002y52z12，解得y1，z2，所以点 P 的坐标是(0,1，2).正方形 ABCD 与 ABEF 的边长都是 1，而且平面ABCD 与平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF上移动，若 CMBNa(0a 2)(1)求 MN 的长；(2)求 a 为何值时，MN 的长最小？写出此时 M，N 点的坐标【解】平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，ABBE，BE平面 ABC.AB，BC，BE 两两垂直以 B 为原点，以 BA，BE，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系则 M22 a，0，1 22 a，
7、N22 a，22 a，0.(1)|MN|22 a 22 a 20 22 a 21 22 a0 2a2 2a1a 22212.(2)当 a 22 时|MN|最短，为 22，此时，M，N 恰为 AC，BF的中点其坐标分别为 M12，0，12，N12，12，0.【规律总结】该题的求解方法较多，但建立空间直角坐标系，利用坐标法求解，避免了几何法求线段长度时的繁杂推理，使求线段长变得直接、简练，体现了坐标法解题的优越性 如图，已知点 A(1,1,0)，对于 Oz 轴正半轴上任意一点 P，在 Oy 轴上是否存在一点 B，使得 PAAB 恒成立？若存在，求出 B 点的坐标；若不存在，说明理由解：设 P(0,
8、0，c)，B(0，b,0)，对于 Oz 轴正半轴上任意一点 P，假设在 Oy 轴上存在一点 B，使得 PAAB 恒成立，则|PA|2|AB|2|PB|2.(01)2(01)2(c0)2(10)2(1b)2(00)2(00)2(0b)2(c0)2，即 3(b1)2b2，解得 b2.存在这样的点 B，当点 B 的坐标为(0,2,0)时，PAAB 恒成立 已知点 P 在 z 轴上，且满足|OP|2(O 为坐标原点)，求点 P 到点 A(1,1,1)的距离【错解】设 P(0,0，z)由|OP|2 得，z22，z2，P(0,0,2)|PA|1212122 3.【错因分析】开方时考虑不周密，丢解【正解】设
9、 P(0,0，z)，由|OP|2 得，z22|z|2，z2，P(0,0,2)或 P(0,0，2)|PA|1212122 3或|PA|1212122 11.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 空间的一点到原点的距离1点 P(1，2,2)到原点的距离为()A9 B3 C1 D5解析：|OP|1222223.答案：B2点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面上 yOz 内的射影，则|OB|等于()A.14B 13C2 3D 11解析：B(0,2,3)|OB|022232 13.答案：B知识点二 空间两点间距离的应用3点 P(x,2,1)到点 Q(1,1,2)，R(2,1,1)的距离相等，则 x 的值为()A.12B1 C32D2解析：由|PQ|PR|得，x12212122 x22212112，解得 x1.答案：B4已知 A(1t,1t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为_解析：由两点间的距离公式可得|AB|1t221tt2tt2 5t152953 55.答案：3 555设 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到点 C的距离|CM|_.解析：M2，32，3|CM|202321 23021314 532.答案：532word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块