1、4.1 数列一、数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第项叫做数列的通项2、数列的表示（1）一般形式：，（2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。3、数列的通项公式（1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式（2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做
2、这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中nN+递减数列常数列摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的函数性质1、数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。3、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：数列是递增数列；数列是递减数列；数列是常数列（2）作商比较法：.当时，则数列是递增数列；数列是递减数列；数列
3、是常数列；.当时，则数列是递减数列；数列是递增数列；数列是常数列（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去四、求数列最大(小)项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项.当解不唯一时，比较各解大小即可确定五、由数列的前几项求数列的通项公式（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征（4）拆项、添项后的特征（5）通过通分等方法变化后，观察
4、是否有规律【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.六、数列的通项an与前n项和Sn的关系当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.题型一 数列的概念及分类【例1】现有下列说法：元素有三个以上的数集就是一个数列；数列1，1，1，1，是无穷数列；每个数列都有通项公式；根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数其中正确的有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个【答案】B【解析】对于，数列是按一定次序排成的一列数，而数集
5、的元素无顺序性，不正确；对于，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，是无穷数列，正确；对于，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，不正确；对于，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，不正确；对于，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（ ）A同一数列的任意两项均不可能相同B数列，与数列，是同一个数列C数列1，3，5，7可表示为D数列2，5，2，5，2，5，是无穷数列【答案】D【解析
6、】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，的各项都是3，故A错误；数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，2，5，中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.【变式1-2】下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）A1，2，3，20B-1，-2，-3，-n，C1，2，3，2，5，6，D-1，0，1，2，100，【答案】D【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.答案：D【变式1-3】（多选）下面四个结论正确的是（ ）A数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列B数列可以看作是一个定义在正整
7、数集（或它的有限子集）上的函数C数列的图像是一系列孤立的点D数列的项数是无限的【答案】BC【解析】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；对于B，由数列的定义可知正确；对于C，由数列的，可知正确；对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.故选:BC.题型二 由数列的前几项写通项【例2】若数列的前6项为：1，则数列的通项为（ ）A B C D【答案】D【解析】通过观察这一列数，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，故用表示各项的正负；而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n项的分母为，所以数列的通项可为，故选：D【变式2-1】按一
8、定规律排列的单项式：a，第n个单项式是（ ）A B C D【答案】C【解析】因为前6项为：a，所以第n项为.故选：C.【变式2-2】数列0.3，0.33，0.333，0.3333，的一个通项公式是（ ）A B C D【答案】C【解析】数列9，99，999，9999，的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，的一个通项公式是故选：C【变式2-3】（多选）已知数列的前项为、，则的通项公式可能为（ ）A B C D【答案】ABC【解析】观察数列的前项可知，的通项公式可能为，因为，故，若，则，不合乎题意.故选
9、：ABC.题型三 写出或判断数列中的项【例3】已知数列的通项公式为那么是它的（ ）A第1项 B第2项 C第3项 D第10项【答案】C【解析】因为数列的通项公式为，令，解得，所以9是数列的第3项，故选：C.【变式3-1】已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（ ）A4 B12 C24 D32【答案】B【解析】由题意，故选：B【变式3-2】若一数列为1，则是这个数列的（ ）A不在此数列中 B第13项 C第14项 D第15项【答案】D【解析】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D【变式3-3】已知数列的一个通项公式为，且，则等于（ ）A0 B1 C D3
10、【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，故选：B.【变式3-4】已知数列1，则是数列中的（ ）A第58项 B第59项 C第60项 D第61项【答案】C【解析】对该数列进行重新分组：， 则出现在，其项数是，故选：C题型四 根据递推关系求数列通项【例4】已知数列，且，求数列的通项公式_；【答案】.【解析】因为，所以，当时，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式.故答案为：.【变式4-1】在数列中，则等于（ ）A B C D【答案】C【解析】因，则有，于是得，当时，因此，显然，满足上式，所以.故选：C【变式4-2】在数列中，则数列的通项公式_.【答案】【解析】因为，所以，所以当时，所以（
11、）当，满足上式，所以.故答案为：【变式4-3】已知数列满足，则数列的通项公式是（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得，即所以数列是以首项为的常数列，则，得.故选：A【变式4-4】数列满足，且，则（ ）A4043 B4044 C2021 D2022【答案】A【解析】因为，所以，所以，即为常数列，又，所以，所以，解得，故选：A.【变式4-5】已知数列满足，则（ ）A32 B C1320 D【答案】A【解析】当时，当时，由，可得，两式相除可得，所以，所以，故选：A题型五 由数列的前n项和求通项【例5】已知数列的前n项和为，且，则（ ）A2018 B2019 C2020 D2021【答案】C【
12、解析】因为，所以当时，化为，从而，所以适合.所以.故故选：C【变式5-1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式_.【答案】【解析】 ,故当时，；当时， 不适合上式， ，故答案为： .【变式5-2】已知数列的前n项和，则的通项公式为_.【答案】【解析】因为，当时，当时，得，经检验当时不成立，所以.故答案为：【变式5-3】数列满足，则（ ）A64 B128 C256 D512【答案】A【解析】当时，由，得，得，所以，则故选：A【变式5-4】已知在数列中，则_【答案】【解析】因为，当时，则，即有，当时，得，满足上式，因此数列是常数列，即，所以.故答案为：题型六 数列的单调性的判断【例6】数列an是递
13、增数列，则an的通项公式可以是下面的（ ）A B C D【答案】A【解析】对于A，因为为单调递增函数，所以，为递增数列，A正确；对于B，因为，所以不是递增数列，B错误对于C，因为为递减函数，所以，为递减数列，C错误；对于D，为摆动数列，D错误.故选：A【变式6-1】已知数列的通项公式为，则该数列为（ ）A递增数列 B递减数列 C摇摆数列 D先增后减数列【答案】D【解析】因为，所以，易知：，所以当时，时，故该数列为先增后减数列，故选：D.【变式6-2】函数的图象在下列图中并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）A B C D【答案】A【解析】已知，故满足，即的图象在的图象上方，
14、故A项正确.故选：A.【变式6-3】在数列中， ， ，则（ ）A数列单调递减 B数列单调递增C数列先递减后递增 D数列先递增后递减【答案】A【解析】由 ，得 ， ，且可知 再由，两边平方得 ，则 ，得： ， ，与 同号,由 ，可知， ，即 ，可知数列单调递减故选：A【变式6-4】已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】由 ， ，即是 小于2n+1的最小值， ，故选：C题型七 求数列的最大（小）项【例7】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）A B C D【答案】B【解析】由，得，又，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值
15、为故选：B【变式7-1】已知数列的通项公式为，则中的最大项为（ ）A第6项 B第12项 C第24项 D第36项【答案】C【解析】因为令，得，解得所以当时，即，当时，即，因此当时，最大故选：C.【变式7-2】已知数列满足，则的最小值为（ ）A0 B C D3【答案】C【解析】由数列满足，且，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，；当时，所以的最小值为.故选：C.【变式7-3】已知，则数列的前50项中，最小项和最大项分别是（ ）A， B， C， D，【答案】D【解析】，当时，数列单调递减，且；当时，数列单调递减，且.在数列的前50项中，最小项和最大项分别是，.故选：D.【
16、变式7-4】若数列满足，若恒成立，则的最大值（ ）A B C D3【答案】C【解析】由于，当时，即，当时，又，以上两式相减可得，得，上式对也成立，所以恒成立即为恒成立，由为递增数列，得的最小值为，所以，即的最大值为.故选：C.题型八 与周期有关的数列问题【例8】若数列满足，（ ）A B1 C2 D【答案】C【解析】数列满足，可得，可得；，可得，可得数列为3为周期的数列，又，.故选：C.【变式8-1】数列满足，则（ ）A2022 B2020 C D【答案】C【解析】由题意，故的周期为4.又，故故选：C【变式8-2】在数列中，则（ ）A0 B1 C D【答案】A【解析】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列，又，所以故选：A【变式8-3】已知数列满足，则（ ）A0 B C D【答案】B【解析】因为数列满足，所以，由此归纳得数列是周期数列，数列的周期为3.所以.故选：B【变式8-4】已知数列满足，且（n为正整数），则_【答案】6【解析】即,所以是周期为6的数列因为所以.
